基于Leaky-LMS算法对宽带噪声的控制

高坤，史晨路，吕晓，祖炳洁

摘 要：Leaky-LMS算法是传统LMS的改进算法，该算法主要适用于随机性较强的宽带噪声，该算法解决了传统LMS算法收敛性、稳定性和瞬态特性的固有缺陷，同时它在系统辨识方面也有很多应用。文章详细介绍了Leaky-LMS算法的推导过程，并分析了该算法的收敛性和稳定性。同时通过MATLAB仿真，比较了传统LMS算法和Leaky-LMS算法对宽带噪声的控制效果。仿真结果表明，Leaky-LMS算法的稳定性、收敛性和瞬态特性要优于传统LMS算法，有效的对汽车车内宽带噪声进行控制。

关键词：泄露LMS算法;收敛性;稳定性;瞬态特性;MATLAB仿真

中图分类号：U462.3  文献标识码：A  文章编号：1671-7988（2019）23-167-03

Leaky-LMS Algorithm Based on Broadband Noise Control

Gao Kun1，2， Shi Chenlu1， Lv Xiao1， Zu Bingjie2

（ 1.China Auto Research （Tianjin） Automotive Engineering Research Institute Co. Ltd.， Tianjin 300000;2.Shijiazhuang Railway University， Hebei Shijiazhuang 050043 ）

Abstract： Leaky-LMS algorithm is an improved algorithm of traditional LMS， which is mainly applicable to broadband noise signals with strong randomness. This algorithm solves the inherent defects of convergence， stability and transient characteristics of traditional LMS algorithm， and also has many applications in system identification. Leaky-LMS algorithm was introduced in detail， its convergence and stability were analyzed， and the control effect of broadband noise by traditional LMS algorithm and leaky-LMS algorithm were compared by MATLAB simulation. Simulation results show that leaky-LMS algorithm has better stability， convergence and transient characteristics than traditional LMS algorithm， and effectively controls the wideband noise in cars.

Keywords： Leak LMS algorithm; Convergence; Stability; Transient characteristics; MATLAB simulation

CLC NO.： U462.3  Document Code： A  Article ID： 1671-7988（2019）23-167-03

前言

隨着NVH控制手段的不断进步和数字信号处理芯片运算能力的提升，主动控制技术越来越多的应用在车内噪声控制中。传统的最小均方（LMS）算法由于良好的自适应性能被广泛的应用到汽车主动降噪领域。由于LMS算法的固有属性，该算法的收敛性和稳定性不能同时满足，当步长因子较大时，可以提高收敛速度，但是稳定性变的较差;当步长因子较小时，可以提高稳定性，但是收敛速度变的较慢。特别是对于随机性较强的宽带信号，LMS算法的瞬态特性会较差。

Leaky-LMS算法可以解决LMS算法的固有缺陷，该算法可以限制瞬态输出信号，并可以同时提高控制系统的稳定性和收敛性。

1 介绍

最小均方（Least Mean Square LMS）算法是由Widrow和Hodff在1960年提出来的[1][2]。该算法简单并易于实现，对自适应系统具有良好的处理能力，所以被广泛的应用在汽车主动降噪领域。但是传统的LMS算法适用于周期短并且较为规律的窄带信号，对于周期长、随机性较强的宽带信号（路噪），系统的收敛速度和稳定性就不能保证了，特别是瞬态特性会变的较差。而Leaky-LMS算法可以解决以上的问题，汽车运行过程中产生的宽带噪声，瞬时信号可能会出现“失真”现象，算法中的泄露因子可以减少由于“失真”现象引起的系统失调。

泄露因子可能会引起系数偏置，所以选定泄露因子和步长需要保持在较低的取值范围内。本文中，我们提出了一种针对于宽带噪声的LMS改进算法—Leaky-LMS算法，第二节主要介绍了Leaky-LMS算法的推导公式，第三节是对Leaky-MS算法进行收敛性和稳定性分析。第四节是通过MATLAB编写仿真程序，来比较LMS和Leaky-LMS算法宽带噪声的控制效果。第五节，得出本文的结论。

2 Leaky-LMS算法公式推导

在Leaky-LMS算法中，期望信号与输入信号之间的关系为[3]：

（1）

式中：d（n）为期望信号;hT为系统的脉冲响应;X（n）为系统中的参考信号;c（n）为在系统中增加的噪声信号。

Leaky-LMS算法的代价方程为：

（2）

误差函数为：

（3）

式中：Leaky-LMS算法目的是为了缩小目标函数J（n），所以Leaky-LMS算法是在LMS算法的代价函数的基础上加入了一个稀疏矩阵，W（n）为1×k的自适应滤波器权重的向量，γ为大于0的泄露因子，x（n）为1×k的输入向量，其中γWT（n）W（n） 是稀疏矩阵。在代价函数中增加稀疏矩阵，可以引起更新权重的收缩，当输入信号矩阵中非零个数没有到达滤波器的阶数时，权重系数会出现一部分零系数，同时γWT（n）W（n）矩阵中会出现许多零系数，由于MATLAB只对非零元素进行操作，所以这种稀疏矩阵可以减少大量的运算时间，从而提高了滤波器的性能。

利用梯度法推出权重系数更新方程：

（4）

式中：u为步长因子。

3 Leaky-LMS算法性能分析

3.1 收敛性分析

（5）

式中：R为关于输入信号x（n）的相关矩阵。在LMS算法中，λ是相关矩阵R的特征值。其中，λmax/λmin为扩散程度，扩散程度与收敛速度成反比，该参数扩展的越大，LMS算法收敛的速度就越慢[4]。

（6）

式中：由于γ是大于0的泄露因子， 所以Leaky-LMS算法的收敛性要优于LMS算法。

权重系数误差方程：

（7）

（8）

（9）

式中：V（n）为权重系数误差向量，P为d（n）和x（n）的互相关矩阵。

（10）

式中：旋转误差E（Vj（∞））的作用是表示权重系数均值收敛性，在LMS算法中，γ=0，旋转误差为E（Vj（∞））为0，所以LMS算法的权重系数W（n）均值趋于收敛于W0。由公式（10）可知，泄露因子γ会导致稳态系数偏置，所以Leaky-LMS算法有一个固有缺陷：权重系数均值不能趋于收敛，也就是不能实现维纳解（均方差和权重系数平均值均收敛才能实现维纳解）。

公式（4）中的步长因子u的取值范围为：

（11）

步长因子u在该范围内，Leaky-LMS算法的均方差MSE趋于收敛。

3.2 稳定性分析

以路噪为代表的宽带噪声，瞬时信号不会总是稳定的，会出现“失真”的情况，所以针对于瞬时信号，瞬时MSE（均方差）为：

（12）

（13）

式中：εmin是最小均方误差，权重的偏差向量方程为：

（14）

（15）

式中：I为单位矩阵，WL为稳态权重系数，W*为瞬时权重系数。

公式（15）结合公式（12）可得：

（16）

根据上述方程，求得步长u的取值范围：

（17）

式中：为输入信号x（n）的方差，步长在此取值范围内，算法保持稳定[5]。

4 基于MATLAB对宽带噪声控制仿真分析

为了判断Leaky-LMS算法的对宽带噪声的控制效果，通过MATLAB编写仿真程序，分别通过LMS算法和Leaky- LMS算法对宽带噪声进行仿真分析，并将两种算法的学习曲线（MSE曲线）进行对比。

本文仿真的目的是为了判断LMS算法和Leaky-LMS算法对宽带噪声的控制效果，设定仿真的采样点为5000个。

图1  有源噪声控制系统

滤波LMS算法与LMS算法的稳态和瞬态特征大致相同，滤波LMS算法应用了声通道原理，所以影响滤波LMS算法的因素较多。上图中，P（z）表示从噪声源到误差信号的初级通道，d（n）表示待消除的噪声信号，s（z）表示次级通道，（z）表示估计参考通道。经过研究分析可知，三个通道的传递函数主要是为了解决算法中时延性问题。在理想的状态下，我们忽略时延性的问题，我们假设有源噪声控制系统中扬声器和麦克风的灵敏度为1，并假设初级通道P（z）的传递函数、次级通道s（z）和参考估计通道（z）的传递函数都设定为1，式中y（n）=Y（n）。控制系统中滤波器为128阶的FIR横向滤波器。参数设置方面，定步长因子设定为0.001，采样点数设定为5000，干扰信号为均值0，信噪比为5的高斯白噪声，在Leaky-LMS算法中，泄露因子γ为0.5。为了判断Leaky-LMS算法和LMS算法的瞬态特性，在输入信号第2872-3072采样点处加入脉冲信号。

图2  LMS算法与LEAKY-LMS算法学习曲线对比

上述的学习曲线表明Leaky-LMS算法对宽带噪声的控制效果要优于LMS算法。由图2可知，LMS算法大约在1500个采样点处收敛，Leaky-LMS算法大约在1000个采样点处

收敛，并且LMS的最小MSE值为2.1578e-04，LEAKY-LMS的最小MSE值為5.6427e-05。通过仿真可以判断出Leaky- LMS算法的收敛性和稳定误差要优于LMS算法[6]。

图3  LMS算法与Leaky-LMS算法在第2800—3300

采样点处学习曲线对比

由图3可知，由于输入信号在第2872-3072个采样点处加入脉冲信号，并且LMS算法在该区间MSE值偏高，均值为6.9235e-04，最高值为0.0029;而LEAKY-LMS算法在该区间MSE均值为2.8345e-04，最高值为0.0024，所以判断出Leaky-LMS算法的瞬态特性要优于LMS算法，所以Leaky- LMS算法可以对瞬时输出信号进行限制。

5 结论

在本文中，针对随机性强的宽帶噪声，提出了一种改进LMS算法代价函数的算法—Leaky-LMS算法。通过公式推导分析出Leaky-LMS算法的可以对瞬时输出信号进行限制，但是该算法不能实现维纳解。同时本文通过MATLAB仿真分析出Leaky-LMS算法和LMS算法对宽带噪声的控制效果。仿真结果表明，Leaky-LMS算法的收敛性、稳定性和瞬态特性要优于LMS算法。

参考文献

[1] Mishuris G S. On a class of singular integral equations with displacement[J].Dokl.akad.nauk Sssr， 1962（4）：731-734.

[2] Widrow B，Hoff M E.Adaptive switching circuits[M]// Neurocompu -ting： foundations of research. MIT Press，1988.

[3] Tajuddeen R.Gwadabe，Mohammad Shukri Salman，.A Modified Lea -ky-LMS Algorithm[C].The 6th International Conference on Compu -ter Research and Developmen，2014.

[4] Yumin Tian，Bing Li.The Simulation of Speech Enhancement Based on Variable Leaky LMS Algorithm[J].Advanced Materials Research Vols. 926-930 （2014） pp 1763-1766.

[5] Mohammad Shukri Salman.Sparse leaky-LMS algorithm for system identification and its convergence analysis [J].Control Signal Proc -ess.2014; 28：1065-1072.

[6] 王开轩，张心光.汽车车内降低噪声主动控制泄露LMS算法[J].机电设备，2018，35（01）：22-25.