基于半互功率谱密度及响应面法的干气密封系统工作模态分析

刘 蕴， 刘全兴， 殷 鸣， 殷国富,

(1．四川大学 空天科学与工程学院，成都 610065；2.四川航天职业技术学院 飞行器制造系，成都 610100；3.四川大学 制造科学与工程学院，成都 610165)

随着机械密封的不断发展，干气密封以其低磨损、低泄漏等优点逐渐成为多个工业领域高参数(高转速r和高压力p)操作条件下的轴封首选，但是在高参数条件下，特别是高转速条件下，干气密封系统极有可能发生剧烈振动导致密封失稳甚至失效，因此对于干气密封整体系统动态特性的研究显得尤为重要。系统动态特性的研究方法主要包括试验状态模态分析和工作状态模态分析(Operational Modal Analysis, OMA)，试验试态模态分析是在人工激励下完成的模态分析，其激励和响应均为已知[1]。然而对于一些复杂的机械结构(海洋平台、桥梁和大型建筑等)来说，难以采用人工激励的方式使其产生振动，还有一些特殊装置，如干气密封装置，只有在工作状态下才可形成完整的系统特性，这就需要在自然工作环境激励下测得响应从而进行模态分析完成模态识别，即工作状态模态分析。相比于试验状态模态分析，工作状态模态分析不需要特定的试验条件，被测试结构可以正常使用，直接获得其工况状态特性，提高了试验效率和实用性[2]。自20世纪70年代起，石油产业、汽车工业以及航天领域都开始对环境激励下的工作模态分析进行研究[3-4]，Bonato等[5]采用自相关和互相关的方法来识别未知激励下模态参数，且指出基于互相关方法能抵抗噪声干扰；申凡等[6]将互功率谱运用于多参考点频域方法中，用各测点的互功率谱代替频响函数获得了振型，弥补了多参考点复指数法的不足；申凡等[7]提出利用互功率谱密度代替功率谱分析，以此来解决模态识别分析的局限性和非线性问题；郑敏等[8]对时域工作模态复指数法和频域工作模态识别法进行了试验比较，得到了频域工作模态识别法比时域工作模态复指数法识别精度更高；楼江雷等[9]和赵峰等[10]均基于LMS Test. Lab 9A软件及采集仪实现了工作模态实验，采用最小二乘复频域法完成了对实验装置各阶模态的参数识别；李晰等[11]采用FDD法对钢管混凝土拱桥的工作模态进行识别，准确识别出了实际结构的前5阶模态，取得了良好的识别效果。

本文采用多参考点最小二乘复频域方法，分别利用互功率谱函数(Cross Power Spectra)和半互功率谱密度函数(Cross Half Power Spectra Density/Cross Half PSD)实现对干气密封装置的工作状态模态分析[12]，在不同转速与介质压力条件下完成对干气密封装置的环境激励工作模态参数识别；采用平均相位偏差(Mode Phase Deviation, MPD)、模态相位线性度(Mode Phase Collineation, MPC)、模态复杂性(Mode Complexity, MOV)和模态指示函数(Mode Indication Function, MIF)等数学指标进行两个函数的模态分析结果进行验证，防止因噪音干扰、激励不充分等造成的算法鲁棒性不强而形成虚假模态[13]；验证结果表明：半互功率谱密度函数相比于互功率谱函数的模态分析结果更为稳定，模态验证效果更佳，更加适合于此类干气密封组合型装置的环境激励工作状态模态分析，模态分析结果表明：操作条件中转速对于系统模态的影响大于介质压力，并且对于不同方向不同阶次的影响程度不同。基于响应面方法与模态分析结果，以不同的操作条件(介质压力p与转速r)、方向D和模态阶数N为响应面变量，建立干气密封系统多工况下模态参数的完整二次多项式工作模态响应面模型并验证了模型的有效性，为实现时变模态的辨识提供了新的方法并为后续系统模态深入研究奠定了基础。

1 互功率谱与半互功率谱密度函数理论

工作状态模态分析方法是利用输出响应的谱函数近似代替频响函数来实现模态识别，在实际工程中，对结构系统进行模态分析和参数识别时，可假设结构具有N阶模态，L个激励满足白噪声平稳条件，那么在点l激励下结构上点m和点n的互功率谱函数Gmnl(jw)可以表示为

(1)

式中：Gffl(jw)为点l处激励f的自功率谱函数，在白噪声输入下，其与频率无关，可用常数C表示，那么式(1)可写为

(2)

(3)

将式(3)代入式(2)可得

(4)

式(4)可分解为

Gmnl(jw)=

(5)

(6)

考虑所有的激励点可得

(7)

(8)

式中：

(9)

2 环境激励的干气密封振动测试试验

2.1 试验设计

干气密封装置是主要的轴封装置，属于多零部件组合系统，轴长约80 cm，端面直径为90 cm，结构如图1所示。密封运行时，动环嵌套在轴套中，随轴一起转动(引入转速r)，从而引入高压气流(引入介质压力p)进入密封槽推开浮动环，形成高压密封气膜，其中弹簧座固定，弹簧始终处于压缩状态使得浮动环与推环始终贴合运动[17-18]。当外界或装置本身产生一定激振时，在激振频率ω接近系统固有频率f时，系统会发生共振，打破平衡的配合关系从而影响密封可靠性和稳定性，为获得干气密封模态参数，只能采用环境激励工作状态模态分析法。

图1 干气密封结构示意图

根据干气密封装置的结构特点，模态实验设计20个测点，20个ICP加速度传感器(型号：333B30，灵敏度：100 mV/g，频率范围：0.5 Hz～3 kHz，量程：50g，重量：3 g)分别以轴向、径向和周向形式均匀布置于密封整机之上，具体分布如图2所示。为得到系统多阶模态参数值，传感器布置个数最好为所需阶数两倍以上，传感器粘贴位置应尽量靠近构件结合面处，以防测得单个构件模态。由密封厂提供的工况控制平台确保工作条件稳定，以尽量满足平稳输入条件，采用M+P Smart Office测试系统，以1点为参考点Excitation，每次平稳测试时间为300 s，采样频率为2 048 Hz，采样点为4 096个，建立整机简化Geometry(见图3)模型以获取振型。

在干气密封工况条件中，轴转速r与介质压力p为两个重要的操作参数，两者变化均会一定程度影响密封气膜动态特性[19]，也会一定程度上影响构件结构特性，所以在干气密封运行过程中，尤其是开机、停机过程，其轴转速r与介质压力p会发生变化导致动态特性实时变化，这就要测试不同操作条件下干气密封系统的模态参数。依据所提供的干气密封工况额定操作条件值(转速r与介质压力p)，轴向、径向和周向试验测试设计为表1所示。试验步骤为:

图2 试验测点布置

图3 系统简化模型

步骤1 在额定介质压力分别为1 MPa、2 MPa和3 MPa时，测试转速为4 000 r/min、6 000 r/min和8 000 r/min工况条件下20个测试点的振动响应；

步骤2 基于M+P Smart Office编程软件，采用多参考点最小二乘复频域方法(PolyLSCF)分别以互功率谱和半互功率谱密度作为拟合函数，整体估计极点和模态参预因子；

步骤3 建立稳态图，获得系统固有频率值和振型。

2.2 试验结果

从干气密封工况要求与失效经验出发，主要研究低于1 000 Hz模态。分别运用测试点之间的互功率谱函数(Cross Power Spectra)与半互功率谱密度函数(Cross Half PSD)采用多参考点最小二乘复频域方法求得各阶模态，以转速4 000 r/min为例，结果分别如表2(a)、表2(b)、表2(c)、表3(a)、表3(b)和表3(c)所示。

2.3 试验验证

在完成环境下的模态识别后，要对结果进行模态验证以剔除虚假模态。先利用频率与振型是否合理正确进行初步模态筛选，再利用模态置信度(Modal Assurance Criterion, MAC)、平均相位偏差(MPD)、模态相位线性度(MPC)、模态复杂性(MOV)以及模态指示函数(MIF)进行模态最终验证。

表1 系统测试试验设计

表2(a) 轴向-Cross Power Spectra函数模态分析结果

Tab.2(a) Axial-Cross Power Spectra function modal analysis results

阶次1 MPa-4 000r/minf/Hz2 MPa-4 000r/minf/Hz3 MPa-4 000r/minf/Hz166.769.669.72133.6139.6139.93351.7209.5207.14395.9347.3353.85547.8554.2544.06600.0606.8606.07697692695

表2(b) 径向-Cross Power Spectra函数模态分析结果

表2(c) 周向-Cross Power Spectra函数模态分析结果

表3(a) 轴向-Cross Half PSD函数模态分析结果

表3(b) 径向-Cross Half PSD函数模态分析结果

表3(c) 周向-Cross Half PSD函数模态分析结果

Tab.3(c) Circumferential-Cross Half PSD function modal analysis results

阶次1 MPa-4 000r/minf/Hz2 MPa-4 000r/minf/Hz3 MPa-4 000r/minf/Hz168.365.465.6281.880.681.23132.5135.4134.24229.9227.6202.45264.6262.0228.36425423423

对于干气密封这种旋转部件来说，在工作模态测试中，实际环境中的转动会形成激振，此激振会形成谐振导致出现极点峰值，这就需要一个去除与转速相关激振频率值的过程。以1 MPa-4 000 r/min轴向测试结果为例，试验结果中，接近66.6 Hz、133.3 Hz和200.0 Hz等以上为66.6 Hz倍数的频率值均需验证，通过频率与振型合理性可知，表2(a)中的66.7 Hz、133.6 Hz、395.9 Hz和600.0 Hz，表3(a)中的65 Hz、129.8 Hz、201.1 Hz和602.3 Hz均为激振频率应剔除；如图4所示，频率值与振型均符合模态特性。351.7 Hz(a)和349.5 Hz(b)的振型为沿轴向左右摆动;547.8 Hz(c)和539.5 Hz(d)的振型为沿轴向前后摆动;697 Hz(e)和697 Hz(f)的振型为沿轴上下移动并左右摆动。

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

Fig.4 The axial vibration mode of dry gas seal under 1 MPa-4 000 r/min working condition

模态置信度(MAC)用于衡量不同模态振型的相关度，可利用不同阶次模态进行MAC相关性分析验证模态结果。1 MPa-4 000 r/min工况下轴向测试三阶模态MAC分析结果振型独立性在接受范围内，如图5所示。其中Cross Half PSD函数的效果(b)较Cross Power Spectra(a)独立性更好。

最后利用MPD、MPC、MOV以及MIF进行模态最终验证，MPDc、MPCcp、MOVcp以及MIFcp为Cross Power Spectra函数结果，MPDchpsd、MPCchpsd、MOVchpsd以及MIFchpsd为Cross Half PSD函数结果，如图6所示。其中，MPD值越小越好，而MPC、MOV和MIF越接近100%越好，MPD<20，MPC、MOV和MIF在80%以上的结果均为工程测试可接受结果。图7为不同操作条件(转速r与介质压力p)下，干气密封装置系统模态参数f变化趋势。

2.4 试验结果

由图6验证结果可知，对于干气密封装置的模态分析，Cross Half PSD函数的分析效果更为可取。Cross Half PSD函数下90%以上的MPD值均小于Cross Power Spectra的MPD值，即模态相位的标准差更小，Cross Half PSD函数下的MPC和MIF相比于Cross Power Spectra更接近于100%，MOV值均为100%说明噪声或算法产生的虚假模态得以剔除。

(a)

(b)

图5 函数Cross Power Spectra与Cross Half PSD的固有频率MAC矩阵

Fig.5 The natural frequency MAC matrix from the Cross Power Spectra function and Cross Half PSD function

(a)

(b)

(c)

(d)

图6 各阶模态MPD、MPC、MOV以及MIF值

Fig.6 The MPD、MPC、MOV、and MIF for modes

由图7中模态参数f变化分析结果可知，随着介质压力的变化，轴向固有频率略有变动，但此变动不大，是由实验测试误差引起；但当转速增加时，轴向固有频率值明显增大，其中一阶固频增加幅度大于二阶、三阶固频值，说明介质压力对于干气密封装置的轴向模态参数并无较大影响，但是转速对于系统轴向固频影响较大，其中对于轴向一阶模态参数影响较为明显。同样，介质压力的改变对于干气密封径向模态参数影响也不大；但一阶、二阶、三阶固有频率随着转速的增加均有增大，其中二阶、三阶固频值增幅大于一阶固频值，说明转速对于密封径向二阶、三阶模态影响较大。介质压力的改变对于周向模态影响也很小；转速对于周向一阶模态也未见明显影响，但是转速的增加对周向二阶、三阶模态影响明显，随着转速的增加，周向二阶、三阶固有频率值增大。由上述结果总结：干气密封的介质压力和转速这两个重要操作条件中，介质压力对于干气密封系统模态特性影响较小，转速条件对于系统模态参数影响较大，并且对于轴向、径向和周向三个方向的模态特性影响各不相同，干气密封在工作时，当转速设计发生改变时，应注意轴向一阶、径向二阶、三阶以及周向二阶、三阶的模态变化，以防止发生严重失效。

(a)

(b)

图7 不同操作条件下系统三向固有频率变化趋势

Fig.7 The system natural frequencies change trend of three directions under different medium pressure and rotational speed

3 工作模态响应面模型建立

3.1 响应面模型

为实现不同条件下工作模态预测，建立完整的二次多项式响应面模型，对于s个变量，响应面模型为

(10)

式中：α0为常数项待定系数;αj为一次项待定系数;αij为二次项待定系数。

令

(11)

(12)

式中:Xv=(x1,x2,…,xs);xi(i=1,2,…,s)为设计变量;βk为未知系数;其个数k=(s+1)(s+2)/2;故β=(β0,β1,…,βk-1)T;利用最小二乘原理确定未知系数βk，独立试验次数t要不小于k，即t≥k[20]。

3.2 Box-Behnken试验设计

Box-Behnken试验设计是既能以最少试验循环又能提供关于试验变量的较完整信息的试验设计，以不同的操作条件(介质压力p与转速r)、方向D和模态阶数N为响应面变量，试验设计结果如表4所示。

表4 Box-Behnken试验设计表

3.3 回归分析与预测

取极小值的必要条件

(l=0,…,k-1)

(13)

即(Xβ-y)TX=0

(14)

则β=(XTX)-1XTy

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

表5 完整二次响应面模型和评价指标

表6 预测结果

4 结 论

(1) 基于多参考点最小二乘复频域法(PolyLSCF)，分别采用互功率谱函数(Cross Power Spectra)和半互功率谱密度函数(Cross Half PSD)实现对装置系统的工况模态分析及识别；并通过数学指标：模态置信度(MAC)、平均相位偏差(MPD)、模态相位线性度(MPC)、模态复杂性(MOV)以及模态指示函数(MIF)进行模态验证。

(2) 结果表明半互功率谱密度函数的分析结果好于互功率谱函数，因此半互功率谱密度函数更适用于复杂结构系统的工作模态分析。同时，干气密封的介质压力和转速这两个重要操作条件中，介质压力对于干气密封系统模态特性影响较小，转速条件对于系统模态参数影响较大，并且对于轴向、径向和周向三个方向的模态特性影响各不相同。然后基于响应面方法与模态分析结果，建立了一种时变模态参数识别的模型，以不同的操作条件(介质压力与转速)、方向和模态阶数为响应面变量，通过Box-Behnken试验设计选取合适的变量样本点，建立系统模态参数的完整二次多项式工作模态响应面模型，实现了模态固有频率预测，为时变模态的辨识提供了新的技术方案。