复杂边界矩形板声辐射特性研究

隗世松 朴金生 张旭万 王刚

摘 要：本文以矩形板-重流体（水）声振耦合为研究对象，探究了任意安装边界条件下板辐射声问题。板的振动位移函数通过谱几何法获取，即假设板的振动位移由傅里叶余弦级数添加相应的附加项，其中余弦项可用于分析四边固支板的振动模态，而附加项的添加则是处理在非固支边界时仅用余弦项带来的边界不连续问题，同时附加项能高效率的提高结果的收敛性。本文建立了板-水声振耦合模型，通过将流体对板的做功加入拉格朗日方程，并同时利用瑞丽辐射声积分公式来建立二者强耦合模型，该耦合模型可用于分析板在水或空气中的辐射声问题。

关键词：矩形板;重流体;声振耦合;声辐射

板结构的辐射声问题一直是众多学者的研究对象，并得到了深入的研究。当前大量的研究工作集中于板向空气中辐射噪声模型，而该类问题无需考虑声波对板的反作用;但当板浸入在水中或其他重流体中时，流体对板的发作用需加以考虑。本文以此为研究对象，展开相应的研究工作。

板的辐射声问题得到一定研究，这其中包括板同声场的耦合以及板的隔声特性。在板的隔声性能分析上，Sabin[1]分析了板中含缝隙时结构的隔声特点，London[2]研究了不同入射波情况下板的隔声性能，为研究入射声功率问题，部分学者[3]，[4]通过角度积分来实现该功率的数值计算。当声波达到同系统耦合频率相同时，板的隔声性能大大降低。[5]-[7]当结构的边界条件发生变化时，板的隔声性能将相应的发生变化，其中Chiello[8]分析了不同边界情况下系统的隔声性，为结构边界的优化点明方向。

当前针对水中的板辐射问题未得到充分研究，且任意安装边界条件下板的水中声辐射问题未得到实质研究，因此本文以此为研究对象，展开相应的理论研究，并验证本方法的准确性。

1 理论推导

图1所示为矩形薄板，不考虑转动惯量，板的尺寸为a×b×h，为分析不同边界下板的振动情况，在板的四周采用弹簧进行支撑，弹簧刚度分别是：横向弹簧kx0，kxa，ky0，kyb和扭转弹簧Kx0，Kxa，Ky0，Kyb，当板收到点力或面力F（x，y）作用时，则相应的拉格朗日泛函为：

Lplate=Uplate-Tplate-WF（1）

其中Upanel、Tpanel和WF的采用是为了得到势能、动能和外力功。

对于板的振动位移，本文采用傅里叶级数的谱分析方法。板各点的位移可以表示为：

W（x，y）=∑Mm=0∑Nn=0Amncosλamxcosλbny

+∑4j=1（ξjb（y）∑Mm=0cjmcosλamx

+ξja（x）∑Nn=0djncosλbny）（2）

为简便计算，本文将带有余项的傅里叶级数均展开成傅里叶余弦形式，即

W（x，y）=∑Mm=0∑Nn=0A-mncosλamxcosλbny（3）

其中：

A-mn=Amn+∑4l=1（β～lnclm+α～lmdln）（4）

系數α～lm和β～ln可以通过函数ξjb（y） 和ξja（x）的傅里叶余弦展开求得。

将公式（2），（3）和（4）代入拉格朗日方程（1），并采用瑞丽-利兹方法，即可获取板的系统方程，如：

Kp-ω2MpA=F（5）

其中Kp，Mp，F和A分别表示刚度矩阵、质量矩阵、力矩阵和傅里叶系数矩阵，该方程的求解将获得傅里叶级数的系数，即得到了板上各处的振动位移。

为获取板外辐射声场，本文采用瑞丽积分，设板表面的辐射声压为P（x，y，t）=p（x，y）ejωt，则p（x，y）可表示为：

p（x，y）=-iωρ02π∫b0∫a0w·（x′，y′）eikRRdx′dy′（6）

其中w·为板的表面振速，可以表示为w·=jωW（x，y）。k=ω/c为波数，R=（x-x′）2+（y-y′）2表示振动点和声压点的直线距离。考虑声压分布的任意性，则可将板表面声压幅值表示为：

p（x，y）=∑Mm=0∑Nn=0Pmncosλamxcosλbny（7）

将公式（7）代入（6），并利用傅里叶级数的正交性，两边同时乘以cosλamxcosλbny，并对板区域进行积分，表示成矩阵形式，则：

κP=ω2QA（8）

其中P是声压的傅里叶系数矩阵形式

结合方程（5）和（8），则此耦合系统的振动和声辐射响应可由下式计算得到：

通过观察公式（9）可以看出，板振动幅值系数不受板外声场的影响，即本模型为弱耦合模型，若考虑辐射声压对于板振动的影响，则这种情况为强耦合，后文将对其进行相应分析。

板的辐射声功率可以表示为：

W=12Re∫b0∫a0I（x，y）dxdy（10）

其中I（x，y）=Re（w·*（x，y）p（x，y））为板表面声强，Re和*分别表示实部和复共轭。

板的辐射阻抗为：

Rrad=W〈w·2〉（11）

其中〈w·2〉表示板的平方振速。下文将采用实例来对板的声辐射特性加以分析。

2 结果验证及分析

为验证本文所提模型的正确性，首先选取文献[9]中的算例对本文进行验证，板的几何尺寸为边长a=1 m，b=1 m，厚度h=1 mm，材料杨氏模量E=2×1011 Pa，密度7800 kg/m3。图2为板的辐射效率，通过图2可以看出，本方法计算辐射功率所得结果同文献吻合良好。

本文以板的弹性阻尼为研究对象，分别计算了阻尼值为0001、0.01、0.03、0.1和0.3时板的辐射功率、振速和平均辐射效率，如图3-5所示，通过图可以看出，当板的阻尼增大时，板的辐射功率降低，但辐射效率提高，这跟板的近边界效应有关。

3 結论

本文以水中板的声辐射为研究对象，分析了任意边界条件板的辐射声问题，并通过同文献结果比对验证了本方法的准确性。本文分析了板在不同的阻尼条件下的声辐射特性，发现高阻尼情况会降低板的辐射功率，但是板的辐射效率将得到提高。

参考文献：

[1]Sabine P E.Weight as a determining factor in sound transmission.The Journal of the Acoustical Society of America，1932，4（1A）：38-43.

[2]London A.Transmission of reverberant sound through single walls.J.Research Nat.Bur.of Stand，1949，42（605）.

[3]Ungar E E，Beranek L L.Noise and vibration control.McGraw-Hill，New York，1971.

[4]Kang H J，Ih J G，Kim J S，et al.Prediction of sound transmission loss through multilayered panels by using Gaussian distribution of directional incident energy.The Journal of the Acoustical Society of America，2000，107（3）：1413-1420.

[5]Cremer L.Theory of the sound attenuation of thin walls with oblique incident.Architectural Acoustics，Bechmark papers in Acoustics，1942，10：367-399.

[6]Ljunggren S.Airborne sound insulation of thick walls.The Journal of the Acoustical Society of America，1991，89（5）：2338-2345.

[7]Davy J L.Predicting the sound insulation of single leaf walls：Extension of Cremers model.The Journal of the Acoustical Society of America，2009，126（4）：1871-1877.

[8]Chiello O，Sgard F C，Atalla N.On the use of a component mode synthesis technique to investigate the effects of elastic boundary conditions on the transmission loss of baffled plates.Computers & structures，2003，81（28）：2645-2658.

[9]Nelisse H，Beslin O，Nicolas J.A generalized approach for the acoustic radiation from a baffled or unbaffled plate with arbitrary boundary conditions，immersed in a light or heavy fluid[J].Journal of Sound and Vibration，1998，211（2）：207-225.