移动荷载作用下多跨梁的振动特性研究

朱伟伟

摘   要：利用传递矩阵法，在随荷载移动的动态坐标系下建立了弹性地基上带阻尼多跨梁的波传播分析模型，分析了阻尼和失谐各自单独作用以及同时存在对波动速度带的影响。研究表明，阻尼和失谐均会导致结构中发生波动局部化，随着阻尼和失谐程度的增大，波动衰减增强。在速度通带内，阻尼和失谐引起的效应可以简单叠加。对于同一阻尼系数和失谐水平，阻尼引起的衰减效应明显大于失谐所致。

关键词：周期梁  移动荷载  失谐  阻尼  波动特性

中图分类号：O327;TH113                        文献标识码：A                        文章编号：1674-098X（2019）04（c）-0063-03

实际工程中移动荷载经常出现，并使结构产生强烈的振动以及显著的变形，因此，研究结构中移动荷载引起的波传播问题得到了学术界的广泛关注，但以往的研究对象主要集中在均匀结构中。

近年来，一些学者开始致力于研究谐调周期结构中由移动荷载引起的波动传播现象。Aldraihem和Baz[1]利用有限单元法和冲量参数激振法研究了恒定移动荷载作用下谐调周期阶梯梁的动态稳定性，研究发现通过调整阶梯梁的空间间距可以改变结构的某些振动模态，从而提高其稳定性，且压电驱动器的嵌入将会使结构的稳定效果达到更佳。Ruzzene和Baz[2]针对轴对称谐调周期加固圆柱壳，计算了传递矩阵的特征值，并给出了不同移动荷载速度和结构尺寸变化对波传播动力学的影响，指出周期结构在移动荷载作用下存在传播域和衰减域，周期性地加固结构可以显著改善壳体的动态稳定性。Yu等[3]将该方法应用到弹性地基上由两种不同材料构成的谐调周期复合管系统中，研究了恒定移动荷载作用下结构的稳态振动波传播，明确指出类似于频域，速度域内同样存在振动带隙，可以利用此特性控制移动载荷下波动的传播。但是，实际工程结构总是不可避免地同谐调周期结构存在一定的偏差，称之为失谐。失谐会显著地影响周期结构的动力特性[4-5]。对于带阻尼失谐周期结构，Bouzit和Pierre[6]以及王晶和于桂兰[7]对比分析了频域内失谐和阻尼对多跨梁动力特性的影响，指出不同激振频率下，阻尼和失谐引起的梁动力特性的变化规律相同。而到目前为止，关于带阻尼失谐周期结构由移动荷载引起的波传播问题的研究很少涉及，因此有必要对其进行研究。

本文由弹性地基上梁的垂向波动微分方程，建立了结构中各跨在随荷载移动的动态坐标系下的动态刚度矩阵，并利用传递矩阵法得到了相邻各跨的传递矩阵，进而采用局部化因子分析了阻尼和失谐对波动局部化特性的影响，为周期多跨梁的振动控制提供了新的思路。

1  多跨梁波动控制方程和传递矩阵

图1为弹性地基上的多跨梁，荷载以速度沿梁移动。相邻跨间通过线弹簧和抗弯弹簧与基础相连，线弹簧刚度和抗弯弹簧刚度分别为Ks和Cs。

利用Winkler地基和Timoshenko梁理论[8]，阻尼采用复阻尼，则移动荷载下第j跨梁的弯曲波动微分方程可写为

（1）

式中：wj和θj分别为垂向位移和横截面转角;A为截面面积;κ为截面几何形状系数;I和ρ分别为截面惯性矩和密度;，E0为弹性模量，η为阻尼系数，为剪切模量;ν为泊松比。Kf为弹性地基刚度系数;t为时间。为垂向外荷载，其沿着梁长度方向以匀速v0移动;F0为荷载幅值，δ为Delta函数。

引入随荷载移动的动态坐标系ζ

（2）

则垂向位移和转角变为

（3）

考虑梁结构的稳态响应，式（1）中关于时间的偏导项等于零，则式（1）在动态坐标系下可表示为

（4）

式（4）的解可写成

（5）

式中：为常数，其值可以通过边界条件求得;βn为系数;为弯曲波数。

将式（5）代入微分方程式（4）中可到关于波数的特征方程

（6）

进而可得4个弯曲波数和。

第j跨梁两端的垂向位移和转角边界条件可表示为

（7）

将式（5）代入式（7）可得到节点由垂向位移和转角构成的向量δj和系数向量α间的关系

（8）

其中（n=1，2，3，4）。

第j跨梁两端的剪切力和弯矩表达式可表示为

（9）

将式（5）代入式（9）得到节点由剪切力和弯矩所构成向量Fj和系数向量α间的关系

（10）

其中，（n=1，2，3，4）。

由式（8）和式（10）可消除系数向量，得到节点力向量Fj与位移向量δj的关系

（11）

Kj为第j跨梁在动态坐标系下弯曲波动的动态刚度矩阵。

第j跨梁的动态运动方程可由式（11）写成如下形式

（12）

其中，为Kj中22阶子矩阵。

经调整，式（12）可表示为

（13）

進一步，式（13）可写为

（14）

其中，、分别为第j跨梁左、右两端的状态向量。

根据连续性条件，第j跨和第j+1跨间的状态向量可表示为

（15）

上式可简化为

（16）