一类具有非线性传染率的SIS传染病接种模型的研究

周艳丽，濮桂萍

（1.上海健康医学院 文理教学部，上海 201318；2.上海健康医学院 健康信息技术与管理学院，上海 201318）

1 问题的提出

在以往经典的传染病模型研究中，常用的传染率多为双线型传染率和标准型传染率。然而，在现实世界中，由于传染病传播方式和传播途径的复杂性，很难准确地表述发生率、接触率以及疾病潜伏期的人数等因素之间的因果关系。非线性传染率能更精确地揭示传染病的传播机理。另外，时滞在传染病的传播过程中也是不可忽视的，它可用来描述患者对疾病的感染期、恢复者对疾病的免疫期、疾病的潜伏期等。为了控制疾病传播，接种疫苗已经成为消除传染病的一个重要策略，因此，研究具有接种的传染病模型已成为传染病学中重要的研究内容。接种疫苗可以使接种者获得永久的免疫力或暂时性的免疫力。暂时性免疫期的长度可以影响疾病发生发展的状况，许多学者研究了具有疫苗接种的传染病模型[1-4]。因此，传染病模型利用非线性时滞方程来描述更符合实际，能更精准地为预防和控制疾病传播提供有效的防御策略。有关具有非线性传染率和时滞的模型的研究已经取得了很多成果[5-9]。

为了更好地解释传染病传播机理，本文将在文献[10]的基础上，将文献[10]中的双线型传染率改为一般性的非线性传染率。模型为

2 模型研究

考虑到模型（1）的实际情况，假设模型（1）的初始条件为

3 数值模拟和结论

利用Higham[14]提出的Milstein的高阶离散方法，对模型（1）在初值为(S(0),I(0),V(0))=(3,3,3时进行数值模拟，其中，，选取参数A=2,β=1,γ=0.5,µ=0.1,q=0.3,p=0.2,α=0.2。比较图1中不同的 τ值：当 τ较小时，感染人群的平衡点大于τ=0时所对应的的平衡点；当 τ较大时，感染人群的平衡点小于τ=0时所对应的的平衡点染病者的平衡点随着 τ值的增大而变小。

图1 取不同 τ值时感染人群随时间的变化曲线Fig.1 Variatio n of infective population with time for different value of delayτ

本文讨论了一类更符合实际、更复杂的非线性传染率的SIS传染病接种模型，能更好地体现疾病的传播机理，具有重要的生物学意义，得到了疾病存在与否的阈值——基本再生数R0。当R0≤1时，模型（1）存在唯一的无病平衡点E0，通过构造相应的Lyapunov函数，利用Lyapunov-LaSalle不变集原理得到此平衡点是全局渐近稳定的，即疾病灭绝；当R0＞1时，模型（1）存在唯一的地方病平衡点，且是全局渐近稳定的，即疾病将持续存在。从以上结论可知，通过调控接种参数以及其他相关参数，可以使得模型的阈值R0小于1，从而达到控制疾病流行的目的。同时，通过数值模拟直观地观察到感染人群的数量随着 τ值的变化情况，这为疾病防控部门有效地预防和控制疾病传播提供了重要的理论依据。