四元数除环的一种矩阵形式

黄毅 王坚 龙岩学院

1 引言及预备知识

1843 年，哈密顿发现了四元数除环，它是历史上第一次构造的不满足乘法交换律的数系，是复数的推广。本文将四元数具体化，将四元数除环看成二阶矩阵环的子环，方便初学者理解四元数除环。

定义1.1 一个环R 叫做除环，假如,

（1）R 至少包含一个不等于零的元；

（2）R 有一个单位元；

（3）R 至少的每个不等于零的元都有一个逆元.

利用分配律扩张到整个H上，则称H上是Hamilton 四元数环.若是H 的一个非零元，则它的逆元为，其中.

文献[3]的四元数除环的定义与上述定义类似，文献[4]的四元数除环以复数对的形式给出。下面来看本文的主要结果。

2 主要结果

证明 易知E,A,B,C,关于数与矩阵相乘以及矩阵加法是实数域

上的四个线性无关的向量，通过简单的矩阵乘法可得

由于Η 的基底关于矩阵乘法在Η 中封闭，易得Η 中的任意两个元素关于矩阵乘法在Η 中也封闭，由子环的判别条件可知Η 是的子环。接下来证明Η 中的非零元都存在逆。

属于Η.因此Η 是一个除环。

可以建立自然的一一映射得出Η与Hamilton 四元数除环同构。

注记 由上述定理的证明可以看出,四元数用矩阵来替换,四元数的加法、乘法运算就是通常的矩阵加法、乘法运算,而矩阵环关于乘法运算、加法运算满足结合律及分配律；并且在验证除环定义的第三条时,非零元可逆刚好转化为验证二阶矩阵可逆,从而只需判断矩阵行列式不为零即可；此外求二阶矩阵的逆矩阵也是高等代数的常规方法。综上,此种方法构造出的四元数除环更利于初学者对它的理解。