浅论高考压轴题中“点差法”运用

摘 要： 解析几何在高考中占有重要地位，一般放在试题倒数第二题，有时也成为压轴题。在高考中，绝大多数学生只能完成第1问，第2问，因计算量大而难无法完成。在平时学习及复习过程中，要让自己真正理解解析几何中的最优解法与算法，这样在考试中才能作出正确的、最优的解法选择，这样才能事半功倍。

关键词：点差法;椭圆;双曲线;抛物线

一、“点差法”的基本步骤

若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为、，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。

二次曲线上两点，设的中点，的斜率为。

由（1）-（2）得，

又∵

∴ 这一等式建立了二次曲线弦的斜率与弦的中点坐标之间关系式。

即已知弦的中点，可求弦的斜率;已知斜率，可求弦的中点坐标。同时也告诉我们当题目问题涉及到弦的斜率与弦的中点在一起时，就要想到“点差法”。

二、“点差法”的基本题型

题型一：以定点为中点的弦所在直线的方程

例1、已知抛物线，过点的直线交抛物线于A、B两点且点平分AB，求直线的方程。

分析：此题涉及到弦AB的斜率及弦AB的中點坐标，故采用“点差法”。

解：设

则

从而直线的方程为。

题型二：过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹

例2、已知椭圆C：，直线过点P（1，1）交椭圆C于A、B两点，求AB中点M的轨迹方程。

分析：此题涉及到弦AB的中点坐标，且弦的斜率等于MP的斜率，故采用“点差法”。

解：设，则

∵点P在椭圆内部，直线与椭圆恒有两个交点，∴点M的轨迹方程为：

。

题型三：圆锥曲线上两点关于某直线对称问题

例3、已知椭圆，试确定的取值范围，使得对于直线，椭圆上总有不同的两点关于该直线对称。

解：设，为椭圆上关于直线的对称两点，为弦的中点，则，两式相减得，

即

，，

这就是弦中点轨迹方程。

它与直线的交点必须在椭圆内

联立，得 则必须满足，

即，解得。

题型四：证明定值问题

例4、已知是椭圆不垂直于轴的任意一条弦，是的中点，为椭圆的中心.求证：直线和直线的斜率之积是定值。

证明 设且，

则，（1），（2）

得：，

，，

又，，（定值）。

三、“点差法”的局限性

举例说明：已知双曲线的方程，是否存在被点平分的弦，如果存在，求出弦所在的直线方程，如果不存在，请说明理由。

按照常规的解法：直线的斜率一定存在，设直线的方程为，与原双曲线的方程联立得：，由得且，但是由“点差法”仍然可得到一条直线的斜率显然不符合题意。由此可见，“点差法”是有局限性的。

事实上： （1）若中点在圆锥曲线（包括圆）内部，则满足条件的直线必定存在;

（2）若中点在圆锥曲线（包括圆）上，则满足条件的直线必不存在;

（3）若中点在圆锥曲线（除双曲线外）外部，则满足条件的直线必不存在。

特别的，对对于点在双曲线的外部时，满足 时直线必定存在，否则一定不存在（当点在坐标轴上属于特殊情况，应当特别考虑）。

参考文献

【1】 韩晓刚，“点差法”解决圆锥曲线的中点弦问[J].学周刊， 2011， （12）：132-133

作者简介：李红艳（1993.6---）女，汉族，湖南衡阳人，中学教师，本科。