机械工程学科有限单元法课程的分阶段目的性教学

李毅波 许良琼 黄明辉

摘  要 结合有限单元法课程的特点、不同阶段学生的知识结构以及各阶段学生修习课程的目的与需求，探讨有限单元法课程体系建设、教学手段、教学内容等改革方案，提出分阶段目的性教学方法，可有效避免教学内容的重复，提高教学质量与教学满意度。

关键词 有限单元法;机械工程学科;分阶段目的性教学;软件教学

中图分类号：G642.3    文献标识码：B

文章编号：1671-489X（2019）06-0072-03

On-demand and Staged Teaching of Finite Element Method in

Mechanical Engineering//LI Yibo， XU Liangqiong， HUANG Ming-

hui

Abstract Based on the study of course characteristics of the finite element method， considering the knowledge structures， studying purposes and requirements of students in different stages， course sys-

tem construction， teaching aided tools and teaching contents of the finite element method were discussed， and then an on-demand and staged teaching method was applied to avoid repeat of teaching con-tents and improve the teaching effect and satisfaction.

Key words finite element method; subject of mechanical enginee-ring; on-demand and staged teaching; software teaching

1 引言

如同20世纪八九十年代CAD技术的逐渐普及改变了工科学生与工程技术人员的作图习惯，21世纪以来，以有限元分析为代表的CAE分析技术走进工科学生的课堂，逐步改变了人们从事现代结构与制造过程设计、分析与优化的习惯，并成为工学、力学、生物生命科学等大部分学科必不可少的关键技术，有限单元法也成为很多高校机械工程学科本科生和研究生的热门必修/选修课程之一。

区别于CAD技术，有限单元法是一个庞大和复杂的理论体系[1]，要求学生具备较强的数学与力学功底;而同时，有限单元法又是一门实践性很强的课程，有限元分析结果的准确性与分析者的操作能力及实践经验直接相关。因此，如何在机械工程学科中建立一套完善的课程体系并且分阶段、有区别性地教学，成为一个亟待解决的问题。

2 有限单元法课程对知识结构的要求

机械工程学科中，有限单元法通常用于机械结构强度、振动噪声、摩擦磨损、润滑传动的分析，冷加工如车、铣、刨、磨，以及热加工如铸、锻、焊、轧等加工工艺过程的模拟等。完整地掌握有限元分析工具，对学科的完整性与知识结构的系统性要求极高。考虑到大学本科专业化通识教育以及研究生高层次专门人才培养的特点[2]，在课程体系建设过程中，不可能也没必要涵盖有限单元法所要求掌握的所有课程，这就要求教師在教学过程中根据各阶段学生的知识结构与研修特征进行教学体系与教学内容改革。

表1为典型结构有限元分析的基本流程以及每个流程要求学生所掌握的基本知识结构。需要注意的是，表中所列课程要求为各高校本科或研究生课程中的常见课程名，标注*号的课程一般为必修课程。从表中可以看出，机械工程学科本科阶段所开设的课程对于有限单元法而言存在明显的不足，即使是在研究生阶段，张量分析、泛函分析、变分原理等课程也大多以选修课的形式存在，由此导致学生对有限单元法的认知不深，普遍停留在采用软件的默认参数进行有限元分析的应用层面，分析结果难以达到满意的精度要求。

3 对有限单元法课程体系建设的思考

从笔者多年从事有限元分析本科生和研究生教学的实践经验来看，不管是本科教学还是研究生教学，学生普遍反映由于数理基础缺乏，有限元理论难以理解;同时，实践分析和操作的时间太少，集中训练的机会几乎没有，对于有限元分析的具体操作也不熟悉。这充分表明现有的课程体系不合理，必须以不同学习阶段的需求或目的为导向，进行课程体系上的改革。

就业或继续深造是本科毕业生的必然选择。表2为笔者在我国两个影响力最大的招聘网——51job网（www.51job.com）和智联招聘网（www.zhaopin.com）——以“有限元”为关键词搜索职位的统计表（搜索日期为2018年9月1日）。可以看出，随着有限单元法的逐渐普及，企业对于有限元分析工程师岗位不再做“硕士及以上”学历的要求，而是在工作类型上予以明确区分。一般地，本科生毕业后主要在设计岗从事结构设计与计算校核工作，硕士主要从事仿真应用及软件开发方向的工作，而博士主要从事产品研发及项目主管等方面的工作。为此，必须根据不同阶段学生的研修目的与要求，对课程体系进行相应改革。

1）以企业需求为导向，加强本科阶段实践教学。本科生毕业后主要在设计岗位从事工作，其有限元分析主要在CAD软件平台进行操作（如Workbench、CreoSimulate等），因而本科教学课程体系建设上应当是以应用为主，以掌握有限元分析软件的熟练操作为主要目的。为此，在课程设置上应当借鉴CAD课程建设经验，大力增加实践操作课时数，可以开设专门的时间操作培训，强化对学生实践能力的考核。

2）以夯实基础为目的，分阶段合理安排理论课程。对于本科毕业后继续深造的研究生而言，考虑到其仿真、软件开发及技术研发等岗位特点，除了要熟练掌握1～2个有限元分析软件的操作以外，应当更加注重有限元分析的数学、物理与力学理论的教学。因此，在研究生课程设置上必须强调数学、力学课程建设，弹塑性力学、数值方法、矩阵论、偏微分方程、泛函分析及变分原理等课程必须成为有限元分析课程的先期选修条件。考虑到研究生普遍在第一学年修完基础课程，按重要性的高低，在研究生课程的排布上，弹塑性力学、数值方法、矩阵论等课程必须在第一学期修完，而偏微分方程、泛函分析及变分原理等课程可以放在第二学期与有限元分析课程同时选修。

4 有限单元法课程的分阶段目的性教学

在教学过程中，根据不同阶段学生对知识的掌握程度、修习课程的需求与目的性，开展针对性的教学改革。

本科阶段的教学内容与方法设计  从基本数学、力学理论出发，阐述有限单元法的基本原理。本科阶段以讲述线性静力学和动力学有限元分析为主，强调有限元分析软件的教学与培训。教学内容设计如下。

1）有限元分析的力学基础。考虑到本科阶段学生尚未掌握弹塑性力学知识，在讲述时只宜设计材料的各向同性线弹性行为，可初步介绍塑性材料的屈服特性，不宜具体讲述材料的屈服准则、硬化准则以及全量、增量算法等塑性力学相关内容;机械振动作为机械工程学科本科学生必须掌握的内容，可在有限元分析课程中予以介绍。

2）有限元分析的数学基础。考虑到本科阶段学生尚不具备数值分析、矩阵论、泛函分析等相关数学基础，在进行内容设计时应当从原理简单且容易操作的Galerkin加权残值法入手，结合理论力学、材料力学等课程中讲述的最小势能原理，逐步引导学生最终掌握有限单元法的基本原理。

3）有限元分析的具体结合对象。结构的静力学强度、机械振动是机械工程学科学生必须掌握的内容，因此，静强度分析及机械振动（包含模态分析、瞬态响应分析及频率响应分析）是机械工程学科有限单元法必须重点介绍的内容;在几何结构的复杂程度方面，梁、壳、二维平面问题（包括平面应力及平面应变问题）推导简单，不会涉及复杂的矩阵运算，在本科教学阶段应当详细介绍。

在教学方式上进行如下改革。

1）采用示范启发式教学方法介绍基础理论。从杆、梁、平面等简单问题入手，结合典型实例，采用示范启发式教学方式[3]，教师向学生展示自己的规范化分析解决问题的过程，引导学生学会分析问题和解决问题。

2）注重软件教学，强调实践能力的培养。熟练掌握一种商用软件对结构的静强度及动力学行为进行有限元分析，是本科生有限单元法教学的重点内容和主要目的。目前可供选择的软件很多，主要有Ansys公司的Ansys软件，达索公司的Abaqus软件，MSC公司的Patran、Nastran、Marc软件等。具体选择哪种软件进行教学，应当考虑不同学校学科的重点和毕业生的主要流向，选择在某一行业与领域更为主流的软件。如海洋、船舶、列车、工程机械等专业可以优先选用Ansys软件，航空航天、汽车等可以优先选用Abaqus或者Patran/Nastran软件等。软件教学与实践教学的比重应当在1/3～1/2之间。

3）理论与实践结合，综合考核教学效果。本科阶段有限元分析的考核应当充分重视对实践教学的考核。可由教师选择几个典型的线性静力、动力学考题，要求学生在规定的时间内完成，并递交详细的分析报告;结果的评定关注最终分析结果，但更应关注建模的过程，网格划分、单元类型、边界条件设置的合理性是评价学生是否掌握本学科学习内容的重要体现。理论内容考核以加权残值法、分布载荷的离散及杆系结构刚度矩阵的组集等基础内容为重点[4]。

研究生阶段的教学内容与方法设计  研究生阶段，学生的知识结构日趋完善，进入研究生第二学期，课题研究方向也基本确定。针对该阶段的特点，应当以问题为导向，开展教学内容与考核方式的改革。

1）注重基础理论，强化学生对有限单元法的深层次理解。对实际问题进行接近真实的模拟，获得准确的分析结果，必要情况下对通用有限元软件进行二次开发以探寻对物理规律与宏微观世界的理解，是研究生阶段从事有限元分析的主要工作。面对这种较为深层次的需求，通过课程教学，必须让学生掌握有限单元法的数学与力学理论。材料非线性问题（弹塑性、粘塑性、蠕变松弛等）、几何非线性问题（屈曲、后屈曲）、非线性边界问题（接触、摩擦）、多物理场问题（热、力、流多场耦合）等应当是此阶段教学的重点。

2）以问题为导向，开展有针对性的主动学习式软件教学。如果说本科阶段软件教学是以通用、常规有限元分析软件进行教学和训练，那么在研究生阶段必须以问题为导向，不强调软件的统一，主张学生自主选择所在课题组的推荐软件进行主动学习。教师不再是教学的主体，而应该充当裁判的角色：由学生自主选题、自主学习、自主分析;以学术报告的形式，由学生汇报其解决问题的过程与分析结果;教师对学生的汇报过程与分析结果进行评定并确定其成绩。有针对性的主动学習式的教学方式，有利于调动学生的学习积极性与能动性，更快更好地理解有限元理论与分析软件，也对学生尽早进入课题研究甚至提高学术报告能力都十分有益。

3）编写简单程序，从源头上加深对有限单元法的理解。有限单元法理论复杂，所涉学科门类繁多;然而其分析流程与操作步骤高度流程化，便于程序化实现。对典型问题编写简单的程序进行分析，是深入了解有限单元法各学科门类之间的交叉关联关系，熟练掌握分析流程中的迭代收敛方法等关键内容的重要手段[5]。与之相呼应的是，通用有限元软件很难解决研究中遇到的各类深层次问题，学生及研究者往往需要对软件进行二次开发，新的材料本构模型、特殊分析单元、应力更新方法、迭代求解算法乃至专用流程化分析界面等需要编写专用代码。在教学过程中以典型案例演示并要求编写有限元分析代码，是促进学生对有限元分析流程的理解，加快研究速度的重要手段。

4）推进英语教学，加深对理论的理解，加快对软件的掌握。有限单元法于1952年由R.W.Clough提出，从该法的提出到广泛应用，虽然国内很多学者如冯康、谢干权、李建华、徐芝纶等人都做了巨大贡献[6]，然而直至今日，成熟度和认可度高的依旧是界面为英语的国外有限元软件，新型有限元理论也多由国外学者率先提出。为了帮助学生更好地理解有限单元法理论，追踪最新的有限元研究成果，加快对有限元软件的掌握，应当加快推进有限单元法的英语教学。

有限单元法分阶段教学总结  表3为根据本科生、研究生阶段的知识结构特征和课程学习目的所制定的分阶段目的性教学内容、手段、方法等改革措施，既不会出现教学内容上的重复，也可调动各阶段学生学习的动力与自主性。从笔者近四年连续从事本科生、研究生有限单元法课程教学实践来看，分阶段目的性教学取得较为满意的效果，满足了不同类型学生的需求，学生对该课程教学的满意度评价结果均排名学院课程的前20%。

5 结语

针对不同阶段学生的知识结构与学习目的的不同，结合近几年的教学实践，介绍有限单元法课程在本科、研究生不同阶段的教学方法、教学手段、教学设计和教学内容等方面的改革，主张分阶段、区别式教学，既不会出现教学内容的重复，也充分满足各阶段学生的需求，教学效果好，学生满意度高。■

参考文献

[1]刘义，薛玉君.机械工程研究生“有限单元法”课程教学探讨[J].中国电力教育，2012（16）：40-41.

[2]梁媛.通识教育与专业教育课程的区别：基于教学设计的思考[J].教育教学论坛，2017（7）：228-229.

[3]周兰桂.“启发式教学”与师范生培养模式改革[J].湖南人文科技学院学报，2017（5）：82-87.

[4]王勖成，邵敏.有限单元法基本原理和数值方法[M].2版.北京：清华大学出版社，1997.

[5]谭晓慧，侯晓亮，查甫生.有限单元法课程教学探索[J].教育教学论坛，2014（41）：185-187.

[6]罗崧发，何广乾，徐次达.有限单元法在我国结构分析中的应用[J].计算力学学报，1984，1（1）：6-11.