广义逆矩阵A-研究

张爱萍

（吕梁学院汾阳师范分校数学与科学系，山西汾阳032200）

近年来，随着电子计算机技术的快速发展，带动了计算科学的发展，使Moore和Penrose分别于1920年和1955年提出的广义逆矩阵的理论更加趋于完善，推动了广义逆矩阵向新的研究阶段迈进[1]。人们为使之适用于研究各类数学问题做了大量的相关工作，如今广义逆矩阵已经成为矩阵分析的基础之一，也是矩阵论的一个重要分支，广泛地应用于控制理论、系统识别和优化理论等领域[2]。

1 广义逆矩阵概述

广义逆矩阵的概念是在相容线性方程组的解的基础上建立的，这也就是Moore关于广义逆矩阵的定义。

定义1[3]对于一个m×n矩阵A，若存在一个n×m矩阵G，使得

其中，PA和PG.分别是Rm的沿R(A)⊥到R(A)的正交投影变换的矩阵及Rm的沿R(G)⊥到R(G)的正交投影变换的矩阵，则称G为A的广义逆矩阵。

除了定义1从解方程组的角度来建立广义逆矩阵的概念之外，还可以从矩阵的运算关系上建立广义逆矩阵的概念。这也正是Penrose提出的关于广义逆矩阵的定义。

定义2[3]对于一个m×n矩阵A，若存在一个n×m矩阵G，使得

则称G为A的广义逆矩阵。

下面的定理1表明，上述的定义1和定义2实际上是等价的。

定理1Moore和Penrose关于广义逆矩阵的两种定义实际上是等价的。

证明先由定义1推出定义2中的式（2）成立。事实上，因为对任意的X∈Rm，恒有AX∈R(A),再结合式（1）中的(i)式，可知

成立。又因为正交投影变换PA的矩阵AG实对称矩阵，所以式（2）中的(iii)自然成立。同理，由式（1）中的(ii)及GA是正交投影变换PG的矩阵，可以推得式（2）中的(ii)式及(iv)式的成立。

再证由式（2）反推式（1）也是成立的。由于G满足式（2）中的(i)与(iii)式，可以推得

因此，AG是一个幂等矩阵，同时也是一个对称矩阵，它所对应的线性变换也因而是一个正交投影变换。还由于

所以，AG的值域为R(A),并且AG在R(A)上相当于恒等变换。这表明AG所表示的正交投影变换是Rm的沿R(G)⊥到R(G)的投影变换PA，即

成立。同理，由式(2)中的(ii)与(iv)式也可推得

成立。

2 广义逆矩阵A-及其等价命题

定理2对于给定的A∈Cm×n,则A满足方程

的广义逆矩阵A-存在的充分必要条件是对于任何的b∈R(A),A-1b都是方程组

的一个解，其中R(A)为A的列空间。

证明设A=(a1,a2,...,an),其中ai为A的第i列，i∈.若存在矩阵A-，使∀b∈R(A),A-b都为式（4）的解，则应有AA-b=b对所有b∈R(A)成立，特别应有AA-ai=ai,i∈.因此有

即AA-A=A。

反之，设存在A-使式（3）成立，即AA-A=A。因为对于任何b∈R(A)，一定存在X∈Cn,使AX=b。对于AA-A=A两边同时右乘X，即可得AA-AX=AX.由式AX=b有

所以A-b是式（4）的一个解。证毕。

定理2实际上给出了广义逆矩阵A-的等价命题。可以把式（3）作为广义逆矩阵A-的定义。

广义逆矩阵A-具有以下性质[4]：

性质1设A∈Cm×n,A-=A(1)∈A{1},则(A-)T∈AT{1},(A-)H∈AH{1}.

证明先证后式。由AA-A=A，两端取共轭转置可得AH(A-)HAH=AH,这说明了(A-)H是AH的减号逆，所以(A-)H∈AH{}1.而前式为后式的特例。证毕。

性质3设A∈Cm×n,则rankA≤rankA-.

证明rankA-≥rank(AA-)≥rank(AA-A)=rankA.

性质4AA-和A-A是幂等矩阵，并且rank(AA-)=rank(A-A)=rankA.

所以，AA-和A-A都是幂等矩阵，并且也都是投影矩阵。又因为rank(A-A)=rankA,并且AA-A=A,所以rankA=rank(AA-A)≤rank(AA-),这时就有rankA=rank(AA-).

同理可证rankA=rank(A-A).

性质5AA-=Im的充分必要条件是rankA=m,即A行满秩。此时A-称为A的右逆，记为的充分必要条件是rankA=n，即A列满秩。此时A-称为A的左逆，记为.

证明必要性。由AA-=Im，根据性质4，有rank(AA-)=rankA，而rank(AA-)=rankIm=m.因此，rankIm=m,即A行满秩。

充分性。由rankIm=m,于是rank(AA-)=rankA=m.因为AA-是m阶方阵，所以AA-是满秩阵，因此有逆。同样，由性质4可知，AA-是幂等阵，因此

(AA-)(AA-)=(AA-)。

上式两端左乘(AA-)-1,可得AA-=Im。

同理可证A-A=In的充分必要条件是rankA=n。

3 广义逆矩阵A-的存在性及求法

是A满足方程（3）的广义逆矩阵A-，其中，L1∈Cr×(m-r),L2∈C(n-r)×(m为-r)任意矩阵。

证明因为rankA=r,所以有初等变换矩阵P，使得

由于A2∈Cm×(n-r)的列都能用A1的列线性表示，因此存在矩阵C∈Cr×(n-r),使得A2=A1C。于 是P=A1(Ir,C).又由于rankA=r,因此存在初等变换矩阵,使得

由于A21∈C(m-r)×r的列都能用A11的行线性表示，因此存在矩阵B∈C(m-r)×r，使得A21=BA11.于是有

另一方面，由L1,L2的任意性可知，矩阵A的广义逆矩阵A-一般不是唯一的。特别的，若取L1=0,L2=0,则可得到一个特殊的广义逆矩阵为

由上述讨论可知，矩阵A的全体广义逆矩阵A-=A(1)所组成的集合应为A{1}，也称减逆。

在实际计算中，有许多计算A-的方法，下面介绍一种常见的求A-的公式。[6]

情形1设秩A=r，并且A的左上角的r阶子块为满秩，即

将式（5）直接代入AA-A=A验证即可。

情形2设秩A=r，但A的左上角的r阶子块Arr不满秩。这时若有初等列变换（P为相应的初等矩阵）使得AP=，而的左上角r阶子块Arr为满秩的，则有

然后再由(AP)-=P-1A-,即可求得

因此当A的左上角无满秩的r阶子块时，需要先对A施行某种列变换，使其左上角r阶子块变为满秩的，然后再由式（6）对()-施行相同的初等列变换，即可得到A-。同样的，对A先作行变换变形，再做相应的列变换还原，也可以得到A-。

解 将A的第二列与第三列交换得

于是由式（5）可求得

将其代入式（6）（也就是交换()-中的第二行与第三行）即得。

4 结语

本文对广义逆矩阵A-的概念、性质、存在性及求法进行了探讨，给出了广义逆矩阵A-的一个等价命题，并给出了一种求广义逆矩阵A-的常用方法。通过对矩阵A作简单的初等列变换，可以很方便地求出矩阵的广义逆矩阵A-。