Pioneer-Climax物种模型的动态分歧

王江岑

摘   要：分歧是自然运动中的普遍现象，它所描述的是一个稳定的定态运动状态下当某种参数超过一个临界指标时就会跃迁到另一种运动状态。大自然中有很多分歧现象，如河水中突然出现一个漩涡、龙卷风的形成等。文章研究一类Pioneer-Climax物种模型的动态分歧问题，利用泛函中线性全连续场的谱理论、中心流形定理和吸引子分歧跃迁对Pioneer-Climax物种模型的动态分歧进行讨论，得到了分歧跃迁的参数临界值，给出了分歧解的表达式。

关键词：物种模型;谱理论;中心流形定理;动态分歧

1    模型的处理

本文的Pioneer-Climax物种模型，是用来刻画物种间的相互作用的，这些物种的生殖能力对其共享的生态环境中的生物密度非常敏感。具体方程如下：

（1）

其中，Ω∈Rn，ai，ci（i=1，2，3）均为正数，a3>a2，u1，u2，分别代表两种物种Pioneer和Climax的浓度。

记u1，=u1（x，t），u2，=u2（x，t）。其中，x∈Ω∪Rn，n≤3，自然地，区域内物种Pioneer和物种Climax的浓度分布不均会对其发展速度产生影响，这时，我们参考生物模型的方法扩散项Δu1，Δu2其中，dΔu2的d是扩散系数。当然，在一定坐标系变换下，可以使得扩散系数d=1，配以边界条件表示物种Pioneer和物种Climax的浓度在区域Ω内外没有相互影响。不失一般性。我们讨论如下方程：

（2）

建立如下空间：

定义如下：

则Lλ为线性全连续场，方程可转化为算子形式：

（3）

2    抽象算子的特征值和特征向量

对于算子-Δ，在边界条件下，记ξk是其第k个特征值，Ψk是其第k个特征向量[1-2]。同时，对Ψk做正规化约束∫ΩΨ 2kdx=1，可以得到，ξk=k2， ，若βk（λ）是Lλ的特征值，eλ是Lλ的對应βk（a）特征向量，则Lλek=βk（a）ek;;;

征值特征向量满足如下等式：

令λ1=k02，k0∈N，显然在λ1附近Lλ的特征值满足：

根据线性全连续场的谱理论[3]，在λ=λ1邻域内有如下空间分解：

其中，E1=span{e1}， E2=span{e12，ek1，ek2，k=2，3，…，}

是E2在X中的闭包，因而u∈X1，u=（u1，u2）T=w1+w2存在：ω1=x1e1∈E1，满足：u=ω1+ω2。

3    主要定理及其证明

在∫ΩΨ 31dx≠0，在上述条件下，方程（1）有如下结论成立：当λ1-ε<λ<λ1时，方程（1）在（u1，u2）T=（0，0）T处发生分歧，即存在（u1，u2）T=（0，0）T的一个邻域U∪X1，U=U1λ∪U2λ，其中，U1λ，U2λ均为开集，在U1λ中原有平衡态失稳[4-6]，并在U2λ中分歧出一个稳定的奇点吸引子（λ）∈U2λ，满足：

方程（1）在λ<λ1一侧分歧出唯一的鞍点（λ）。

分歧出的奇点（λ）可表示为：

其中，a（λ）=c1∫ΩΨ 31dx。

证明：设u=ω1+ω2=x1e1+Φ（ω1，λ）∈X1，其中，Φ（.，λ）：E1→E2为中心流行函数。〈ut，e11*）〉=〈Lλu，e11*）〉+〈G（u，λ），e11*〉计算可得分歧：

（4）

〈G（u，λ），e11*〉∫ΩG（x1e1，λ）e1*dx=（-c1x12）∫ΩΨ 31dx+O（|x1|2）记a（λ）=c1∫ΩΨ 31dx

则方程可化为：

则方程分歧出的奇点可表示为：

当λ<λ1时，β11（λ）<0，βk1<0，k=2，3，…，βk2<0，k=1，2，3，…，所以（λ）为鞍点。

[参考文献]

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[5]CRANDALL M G，RABINOWITZ P H.Bifurcation from simple eigenvalues[J].Functional Analysis，1971（8）：321.

Dynamic bifurcation of Pioneer-Climax species model

Wang Jiangcen

（Sichuan Tourism University， Chengdu 610100， China）

Abstract：Bifurcation is a common phenomenon in natural motion， which describes a stable steady state of motion that jumps to another when a parameter exceeds a critical index. There are many diverging phenomena in nature， such as a sudden whirlpool in the river， the formation of tornadoes， and so on. In this paper， the dynamic bifurcation problem of a class of Pioneer-Climax species model is studied. The dynamic bifurcation of Pioneer-Climax species model is discussed by using the spectral theory of linear fully continuous field in functional， the central manifolds theorem and the bifurcation transition of attractor， and the critical value of the parameters of bifurcation transition is obtained. The expression of bifurcation solution is given.

Key words：species model; spectral theory; central manifold theorem; dynamic bifurcation