带有导数项的非自治反应扩散方程一致吸引子的存在性*

曹兰兰, 姜金平, 曹伯芳

(延安大学 数学与计算机科学学院，陕西 延安716000)

1 引 言

研究无穷维动力非自治系统的一致吸引子的存在性，最重要的是首先要验证与自治解半群相对应的过程族的某种紧性.在研究有界域上的一致吸引子的存在性时[1-5]，可以利用渐进先验估计的方法与Sobolev紧嵌入定理的方法或者能量估计的方法得到过程族的某种紧性.但是在无界域上，由于Sobolev紧嵌入在无界域上不再紧；为了得到系统的一致吸引子，可以利用截断函数技巧，用有界域来逼近无界域.文献[6]建立了验证无界域上非自治反应扩散系统一致渐进紧的一个行之有效的方法,即一致渐进先验估计的方法.文献[7]利用文献[6]的方法得出非自治随机动力系统一致吸引子的存在性.本文讨论如下形式带有导数项的非自治反应扩散方程[8-10]一致吸引子的存在性.

(1)

f(0)=0,f′(s)≥-λ

(2)

k1|s|p-α1|s|2≤F(s)≤k2|s|p+α2|s|2,2

(3)

其中ki,αi,λ(i=1,2)为正常数.

当x∈Ω∈Rn时，σ(t)=(f(u,t),g(x,t)),t∈R记为符号空间参数

Aσ(t):E1→E2

其中，E1，E2是Banach空间，σ(s)(s∈R)为反映整个依赖时间的非自治系统的一个符号函数参数.将符号函数σ(s)在某个距离空间或Banach空间E中的取值和σ(s)(s∈R)并称为非自治反应扩散方程的时间符号.

2 预备知识

定义1[4]称过程族{Uσ(t,τ)},σ∈Σ是(E1，E2)一致紧的，如果过程族{Uσ(t,τ)},σ∈Σ拥有(E1，E2)一致紧的吸收集；称过程族{Uσ(t,τ)},σ∈Σ是(E1，E2)一致渐近紧的，如果过程族{Uσ(t,τ)},σ∈Σ拥有(E1，E2)一致紧的吸引集.

定理1[5]设{Uσ(t,τ)},σ∈Σ是LP(Rn)(p≥2)的过程族，若{Uσ(t,τ)},σ∈Σ在LP(Rn)(p≥2)上有一致(关于σ∈Σ)有界集，则对∀ε>0,{Uσ(t,τ)}，存在T=T(τ,B)≥τ,M=M(ε),使得对任意u0∈B,t≥T有

m(Rn(|Uσ(t,τ)u0|≥M))≤ε

其中m(e)表示集e的Lebesgue测度，Rn(|u|≥M)={x∈Rn||u(t)|≥M}.

定义2[6]集合E0⊂E被称为是过程族{Uσ(t,τ)},σ∈Σ的有界一致(关于σ∈Σ)吸收集，如果对每一个固定的τ∈R,B∈B(E)，满足

特别的，如果AΣ任意一个闭的一致吸引集中的一个闭的一致吸引集A(最小性)，那么AΣ就称为过程族{Uσ(t,τ)},σ∈Σ的一致吸引子.

定义3[6]如果完备的度量空间E上的过程族{Uσ(t,τ)},σ∈Σ满足：对任意的τ∈R和E中的任何有界集B,使得

其中α(A)表示A的非紧性测度，称过程族{Uσ(t,τ)},σ∈Σ在空间E上一致ω-极限紧的.

定理2[6]设{Uσ(t,τ)},σ∈Σ关于L2(Rn)，LP(Rn)是连续的，假设{Uσ(t,τ)},σ∈Σ有一个(L2(Rn)，L2(Rn))一致吸引子,如果满足以下条件

(1){Uσ(t,τ)},σ∈Σ有一个一致有界吸收集B0∈(L2(Rn)，L2(Rn))；

(2){Uσ(t,τ)},σ∈Σ在(L2(Rn)，L2(Rn))是一致渐近紧的.

定理3[6]设{Uσ(t,τ)},σ∈Σ关于L2(Rn)，LP(Rn)是连续的，假设{Uσ(t,τ)},σ∈Σ有一个(L2(Rn)，L2(Rn))一致吸引子，则{Uσ(t,τ)},σ∈Σ在(L2(Rn)，Lp(Rn))有一个一致吸引子，如果满足以下条件

(1){Uσ(t,τ)},σ∈Σ有一个一致有界吸收集B0∈(L2(Rn)，LP(Rn));

(2){Uσ(t,τ)},σ∈Σ在(L2(Rn)，Lp(Rn))是一致渐近紧的.

3 主要结论

引理1设满足(1)-(3)的过程族{U(t,τ)}σ∈Σ在(L2(Rn),L2(Rn))上存在一致有界吸收集，即存在ρ>0,对L2(Rn)中任何有界集B,存在正常数T=T(B),使得

证明u作用(1)两端，对x在Rn上积分可得

(4)

由(2)和(3)可得

即

-(k1|s|p-α1|s|2+λ‖u‖2)≤0

(5)

由Young不等式可得

(6)

(7)

将(5)-(7)代入(4)可得

(8)

(9)

引理2对任意ε>0存在k(>0),T(>0)，使得对任意t>T,u0∈B0有

证明取试验函数θ，使得

(10)

其中

(11)

由(11)得

(12)

(13)

(14)

将(12)-(14) 代入(10)得

(15)

由Gronwall引理有

(16)

(17)

同理,由(15)-(17)有

(18)

由定理2、引理1和引理2，可得如下定理4.

引理3设(1)-(3)成立，，则对应过程族{Uσ(t,τ)}t≥τ，存在(L2(Rn),L2(Rn))一致有界的吸收集，则存在(L2(Rn),Lp(Rn))一致有界吸收集和(L2(Rn),H1(Rn))一致有界吸收集，即对B∈L2(Rn)(关于|·|范数)，存在正常数T(T=(B,t≥τ))使得

|Uσ(t,τ)u0|p+|Uσ(t,τ)u0|2+‖Uσ(t,τ)u0‖≤ρ∀t≥τ,u0∈B

其中ρ为不依赖T,B的正常数.

证明u作用(1)两端，对x在Rn上积分可得

(19)

(20)

由Young不等式可得

(21)

(22)

将(20)-(22)代入(19)可得

(23)

则由(23)可得

(24)

(25)

ut作用(1)两端，对x在Rn上积分可得

(26)

由(20)可得

(27)

将(23)与(27)求和有

(28)

由Hölder不等式和Cauchy不等式，利用Gronwall引理可得

(29)

由(25)和(29)可得

引理得证.

引理4过程族{Uσ(t,τ)}在(L2(Rn),Lp(Rn))是ω-极限紧的，即对任意ε>0存在一个常数M,T=T(ε),对g(x,t)∈Σ有

(30)

其中,C是B0∈(L2(Rn),Lp(Rn))中不依赖于M,T,ε的常数.

证明|(u-M)+|p-1与(1)两端作内积，并对x在Rn上积分，得

(31)

(32)

由(3)和(31)有

(33)

由Young有

(34)

(35)

由(33)-(35)可得

(36)

当p>2,利用Sobolev紧嵌入定理有

(37)

将(37)代入(36)并乘2得

(38)

又因为

(39)

将(39)代入(38)有

(40)

利用一致Gronwall引理有

(41)

其中，M1=Mp-2.

当M1=Mp-2足够大时可得，对∀ε>0有

(42)

(43)

结合(41)-(43)有

(44)

同理将|(u-M)+|p-2(u-M)-作用于(1)，存在M2，t2有

(45)

故由(44)和(45)，存在M3=max(M1,M2)有

引理得证.

证明由定理3、引理3和引理4，可得到方程(1)的过程族{Uσ(t,τ)}，σ∈Σ在(L2(Rn),Lp(Rn))存在一个一致吸引子.