时滞BAM神经网络周期解的存在唯一性

杨树杰，毛 凯，赵文飞，宋玮玮

（1.海军航空大学，山东烟台264001；2.烟台大学文经学院，山东烟台264000）

1 问题的提出

自Kosko[1]于1988年提出双向联想记忆神经网络模型（BAM）以来，BAM 神经网络就受到广大科研工作者的广泛关注。该类神经网络模型的动力学性质，如平衡点、周期振荡、概周期振荡、分支和混沌等问题得到深入研究，并在神经网络的设计和模式识别、智能处理、优化计算、复杂控制等方面得到广泛应用。在Kosko最初提出的BAM模型的微分方程中，不存在时滞问题，但是由于BAM 神经网络是通过集成电路实现的，而放大器需要一定的转换速度，这就不可避免地带来一定的时间延迟。因此，这类带有时滞的BAM 神经网络更加符合实际，从而深受广大学者重视并得到研究和应用。周期解的存在性是BAM神经网络的一个重要性质，Hu和Wang[2]利用动力学不等式和概周期泛函壳理论研究了一类时间尺度上的BAM神经网络模型的持久性和概周期解的存在性、唯一性和全局渐近稳定性。Cui 和Li[3]研究了一类BAM 型Cohen-Grossberg 神经网络的概周期解的存在性和渐近稳定性。Wang 和Ru[4]利用不动点定理研究了一类二阶微分方程周期解的存在性和重数。利用Lyapunov 理论，建立合适的Lyapunov-Krasovskii 函数，Matveeva[5]研究了一类中立型周期扰动系统周期解的鲁棒稳定性和指数衰减率。Gao，Li 和Wu[6]利用连续性定理、Kirchhoff矩阵树理论及Lyapunov方法研究了一类离散周期时变耦合神经网络的周期解的存在性。更多相关结论见文献[7-9]等。

BAM 神经网络是现代人工智能的最重要分支，神经网络专家系统（NNES）是以人工BAM 神经网络为核心建造的一种集成式智能系统，它不仅可以实现专家系统的基本功能，模仿人类专家的逻辑思维方式进行推理决策和问题求解；还具有学习能力、自适应能力、并行推理和联想记忆能力。近几年，针对BAM神经网络的理论及应用研究[10-18]取得了大量成果。

本文考虑如下具有状态依赖时滞和分布时滞的BAM神经网络模型的周期解问题：

式（1）、（2）中：xi( t )和yj( t )分别表示第i 和第j 个神经元在t 时刻神经细胞的状态；ai( t )＞0 ；bj( t )＞0 ；pji( t )、qij( t )、hji( t )、kij( t )分别表示t 时刻的联接权重；fj、gi为激活函数；Ii( t )、Jj( t )为t 时刻的外部输入；τji( t,s )、σij( t,s) 是关于变量t 以T 为周期的函数。

由文献[19]知系统（1）具有T -周期解等价于下面系统具有相同的T -周期解。

将系统（1）的周期解的存在性问题转化为算子不动点问题。首先，据Gi( t,s) 和Hj( t,s )的定义有：

2 主要结论

本文假设联接权重函数、激活函数及时滞函数满足如下假设。

A1： 存 在 正 常 数 αj( )j=1,2,…,m 和βi( i =1,2,…,n )，使得对任意( u,v )∈R2，有：

设：

并分别定义范数：

令Λ=X×Y ，并定义范数为：

‖ ( x,y )‖=max{‖ x ‖,‖ y ‖},( x,y )∈X×Y，

则Λ 为Banach 空间对任意( )

x,y ∈Λ 及t ≥0，定义算子Φ:Λ →Λ 为Φ( x,y )( t )=( Φ1( x,y )( t ),Φ2( x,y )( t ))，且

令

显然，Λ*是Λ 的凸闭集。

以下为主要结论。

证明：根据Banach空间Λ 范数的定义知

而

因此，

所以，对任意(x,y)∈Λ*，有：

首先，证明Φ:Λ*→Λ*。

事实上，对任意( x,y )∈Λ*，有：

最后，证明Φ:Λ*→Λ*是压缩的。

对任意( x,y )∈Λ*，有：

同样有

于是

类似于定理1，得到如下结论。

定理2：假定条件A1、A2和A3成立，则系统（2）存在唯一正T-周期解(x,y)满足

3 数例

考虑系统（1），设：

从而，对于0 ≤s，t ≤2π，有：