浅谈平面解析几何中比例问题的常见题型和解题方法

张楚宁 沙伯胤

【中图分类号】G633.66       【文献标识码】A

【文章编号】2095-3089（2019）18-0295-02

前言

解析几何是用代数方法研究几何对象的关系和性质的一门学科。作为解析几何的一大分支，平面解析几何在历届高考中占有超過百分之二十的比重，重点考察学生们的方法选择、计算能力和综合思维能力。其中，求解元素之间的数值比例关系是考试十分常见的一种题型。本文着重以三种不同的例题为案例，就该类问题常见题型和解题方法做以简要论述。

平面解析几何离不开圆锥曲线，因此在高考中该类型题目第一问一般是圆锥曲线方程或者直线方程，从而使得方程求解是解出整题的基础。方程求解不难，但是要注意在高考难度逐渐降低的形势下，题目中出现的“文字游戏”则十分考察考生细心程度，所以不要轻视第一问。以下对于解题思路的讨论均是建立在第一问解答正确基础上。

平面解析几何的比例问题大致可分为两类，即：面积和边长之比问题，角度之比问题。分别论述如下。

2.解题方法。

无论是三角函数值还是角度值，在我们应用了上述理论公式后，多会化为边长之比的问题。由于涉及到三角函数值，我们不难想到平面向量公式中存在着带有三角函数值的子项。故这类题利用向量法反而更加简便。由于向量内积公式中存在一个夹角余弦值，我们只需要表示出各个点的坐标，利用向量内积逐个求出余弦值，而后转换为我们熟悉的边长之比问题，得出答案。

3.易错知识点。

此题虽然少见，但是十分容易出错。由于涉及到大量的三角函数计算，难免会出现由于向量法较为简便，学生在使用向量法的时候可能会出现忘记“末减初”的问题，而向量模长的大量计算，再加上待定系数的介入，进一步考验计算和逻辑的严谨性，加大了正确解题的难度。

4.建议。

解题思路依旧是往我们熟悉的问题上靠拢。把三角函数值这层“外衣”剥去是永恒的目标。灵活的利用向量法，能在解题路线上提供一条捷径。

三、结论

比例问题作为平面解析几何考试题型中常见问题，本质上仍是脱离不了高考试卷中“侧重基础知识和计算”的主旨。

1.比例问题属于解析几何题目中计算量比较大的题目，但是思维量不大，考验的是细心和耐心。其侧重基础计算和基础公式的熟练程度，学生需要重视平时的习题演练。

2.归纳总结，举一反三。通过典型题型、典型问题，剔除题型描述中文字部分的干扰，及时归纳总结，为将来学习高等数学等学习打好基础。

3.比例问题的基础是边长之比问题。能够灵活的处理各种边长之比问题后，努力将其他问题转换为边长问题予以求解。

4.比例问题在平面解析几何中，突出体现了几何与代数的结合关系，需牢记点、线、面三者关系，树立起坐标系中的平面几何图形概念。

作者按：

在当今高考的形式下，全卷越来越重视基础知识的考察。高考卷中最后压轴的三道大题的类型一般为：数列、立体几何、平面解析几何。相比与数列题型考验的思维新颖性、立体几何题型考验的空间思维想象能力，解析几何在思维量上讲无疑是最小的。因此，此类型题目更考验扎实的基础和严谨的计算证明。而这一点，大部分学生都可以通过训练而做到极致，从而使得此道压轴大题变成必拿分题型。本文旨在总结常规的思路和公式方法，文中也反复强调——大量的基础练习才是解题的重中之重。