巧用数学思想妙解数学问题

孙爱云

数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果，是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识。

在小学数学课堂教学的实践中，数学思想不仅能指导教师深入理解教材，进行高效的教学设计，更能帮我们巧妙地解决一些数学难题。

一、利用对应思想解决数学问题

对应是人们对两个集合元素之间联系的一种思想方法。这种思想方法是在两个事物之间建立起来的一种关系，即对应关系，从而揭示事物之间的联系。运用对应思想可以让一些数学问题的数量关系变得简洁、明了。

例如：幼儿园教师把一箱饼干分给小班和中班的小朋友，平均每人分得6块;如果只分给中班的小朋友，平均每人可以多分4块。如果只分给小班的小朋友，平均每人分得多少块？

这是一道盈亏类型的题目，解决这道问题的常用思路：这箱饼干分给小班和中班的小朋友，平均每人分得6块;如果只分给中班的小朋友，平均每人可以多分4块。说明中班的人数是小班人数的6÷4=1.5倍，因此，这箱饼干全分给小班的小朋友，每位小朋友可以多分6×1.5=9（块），一共可以分到6+9=15（块）。

但在实际的教学过程中，五年级的学生并不能很好地理解这种教学思路。因此，在教学本道题目的时候，我就利用对应的思想来解决这道题目，收到了良好的教学效果。

“把这箱饼干分给小班和中班的小朋友，平均每人分得6块;如果只分给中班的小朋友，平均每人可以多分4块。”通过对这句话的分析和理解，我们可以知道，如果只分给中班的小朋友，那么中班小朋友每人手中的6块饼干可以不用考虑，只考虑把小班小朋友的饼干重新分配给中班就可以。认真观察，我们可以发现小班2个小朋友手中的饼干是6×2=12（块），这12块刚好分给中班的3个小朋友。这样小班的2个小朋友和中班的3个小朋友之间就建立起一种对应关系。因此，如果这箱饼干只分给小班的小朋友，每人就可以多分6×3÷2=9（块），每人共分6+9=15（块）。

这样利用他们之间的对应关系，既巧妙地解决了这类数学题目，同时又降低了学习的难度，提高了学生学习数学的兴趣。

二、利用数形结合思想解决数学问题

数形结合思想就是通过数和形之间的对应关系和相互转化来解决问题的思想方法。数形结合思想在数学中的应用大致分两种：一是“以数解形”;二是“以形助数”。在小学数学课堂的教学中，教师最常用的是画线段图，帮助学生分析数量关系，理清解题思路。

在有倍数关系的题目中，我们常用的画线段图的方法如下。

例如：甲是乙的3倍。

但是，这种画线段图的方法对于下面这种倍数关系的题目来说，学生还是无法从线段图中找出题目的数量关系。如果我们变换线段图的画法，就会很容易帮助学生理清解题思路。

例如：甲组的图书是乙组的3倍，若乙组给甲组6本，则甲组的图书是乙组的5倍。甲组原有图书多少本？

在分析这道题的数量关系时，我们采用了如下画线段图的方法。

先画出甲是乙的3倍，然后从乙中拿出6本给甲，再用虚线把甲和乙同样多的部分连起来。学生从这个线段图中很容易发现：现在的甲是乙的5倍，甲虚线左边是乙的3倍，甲虚线右边的部分6×3+6就是乙现在的5﹣3倍，因此，学生很容易求出：

现在乙组的本数：（6×3+6）÷（5﹣-3）=12（本）

原来乙组的本数：12+6=18（本）

原来甲组的本数：18×3=54（本）

这种解法就是在数形结合思想的指导下，巧妙地改变了常规画线段图的方法，让题中的数量关系在线段图中清晰地呈现出来，大大地降低了题目的难度，提高了学生的学习兴趣。

三、利用数形结合和转化思想解决数学问题

例如：一件工作甲做5小时以后由乙来做，3小时可以完成;乙做9小时以后由甲来做，也是3小时可以完成。那么，甲做1小时由乙来做，几小时可以完成？

解决本题主要借助线段图（数形结合）和转化的思路来分析。

根据题意可知：这件工作甲做5小时，乙做3小時可以完成。或者甲做3小时，乙做9小时可以完成。从线段图上可以清楚地看出：甲（5﹣3）小时做的=乙（9﹣3）小时做的，也就是甲1小时做的=乙3小时做的。这样借助线段图就很清晰地看出甲、乙之间的关系，再借助转化思想顺利解决问题。

综上所述，数学思想在我们的课堂教学实践中占有举足轻重的位置，我们在教学中要不断渗透数学思想，让学生在学习过程中感悟数学思想，体会数学思想，不断提高学生的数学素养，为学生的可持续发展奠定坚实的基础。

【作者单位：叶县教体局工农教研室河南】