直击解三角形的热点题型

■河南省南乐县第一高级中学 吉晓波

一、三角形中的求角或求边问题

例1在平面四边形ABCD中,∠ADC=90°,A=45°,AB=2,BD=5。(1)求cos∠ADB；(2)若DC=,求BC。

解：(1)在△ABD中,由正弦定理得。由题设知,,所以sin∠ADB=。由题设知,∠ADB＜90°,则cos∠ADB=。

(2)由题设及(1)知,cos ∠BDC=sin ∠ADB=。在△BCD中,由余弦定理得：

所以BC=5。

点评：正弦、余弦定理是解三角形强有力的工具,解题时要注意边与角的互化。

二、求三角形的面积

例2在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c。已知c=2,C=

(1)若△ABC的面积等于,求a,b的值；

(2)若sinB=2sinA,求△ABC的面积。

解：(1)由余弦定理,得a2+b2-ab=4。又△ABC的面积等于,所以S=absinC=3,解得ab=4。联立得方程组解得a=2,b=2。

(2)由余弦定理,得a2+b2-ab=4。由正弦定理,得b=2a。联立得方程组解得所以△ABC的面积

点评：解答与三角形面积有关的问题时,如已知某一内角C的大小或三角函数值,就选择S=来求面积,再利用正弦定理或余弦定理求出所需的边或角。

三、与其他知识的交汇

例3已知f(x)=a·b,其中a=(2cosx,-sin 2x),b=(cosx,1),x∈R。

(1)求f(x)的单调递增区间；

(2)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,f(A)=-1,a=,且向量m=(3,sinB)与n=(2,sinC)共线,求边长b和c的值。

解：(1)由题意知,f?(x)=2cos2x-sin 2x=1+cos 2x-sin 2x=1+2cos（2x+）。令2kπ-π ≤2x+≤2kπ(k∈Z),得kπ-≤x≤kπ-(k∈Z)。所以f(x)的单调递增区间为[kπ-,kπ-](k∈Z)。

(2)由题意得f(A)=1+2cos（2A+）=-1,即cos（2A+）=-1。又＜2A+＜,所以2A+=π,即A=。又a=,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=(b+c)2-3bc=。又向量m=(3,sinB)与n=(2,sinC)共线,则2sinB=3sinC,由正弦定理得2b=3c。解得b=,c=1。

点评：解决这种问题的关键是利用向量的知识将条件“脱去向量外衣”,转化为三角函数的相关知识进行求解。