改进FBM湍流模型在离心泵空化流计算中的应用

王 勇，蒋玲林，金 雷，罗凯凯

(1.江苏大学镇江流体工程装备技术研究院，江苏 镇江 212009；2.江苏大学国家水泵及系统工程技术研究中心，江苏 镇江 212013；3.合肥恒大江海泵业股份有限公司，合肥 231131)

0 引 言

空化现象经常发生在高速旋转的水力机械中，如泵和螺旋桨等，不仅会导致水力机械性能和效率下降，还会产生振动、噪声和空蚀等一系列有害现象[1-4]。近年来，随着计算流体力学和计算机科学的发展，空化的数值计算已成为研究空化流动现象的重要手段，受到越来越多的关注[5-9]。由于空化是一种包含汽、液相间质量传输的非定常可压缩多相湍流流动现象，因此，湍流模型的选择对数值模拟的结果有很大影响[10-12]。

目前用于工程中的湍流模拟方法有大涡模拟(Large Eddy Simulation,LES)和雷诺平均法(Reynolds-Averaged Navier-Stokes equations,RANS)[13-15]，在水力机械内部空化流的数值模拟中，RANS方法处理湍流最为常见[16-19]。然而，Okabayashi[20]指出RANS方法普遍采用的两方程湍流模型，最初都是基于单相非空化流场提出的，不能充分考虑空化流场中的大尺度非定常特性。Johansen等[21]提出了基于滤波修正的标准k-ε模型(filter-based model，FBM模型)，由于结合了RANS和LES的优点，近年来已被应用于水翼和离心泵空化绕流的数值预测，它不仅能显著提高非空化条件下泵扬程系数的预测精度，在很多工况下还能更好地捕捉到临界空化数；为了更充分考虑因空化现象引起的流场密度的巨大变化，Coutier-Delgosha[22]提出了基于密度修正的方法(Density Correction Based Model ，DCM)来改进标准的RNG k-ε模型。基于此，本文以FBM模型为基础，把DCM模型的密度修正思想引入其中，发展了一种基于密度修正的FBM模型。

通过二次开发技术把FBM模型(方案一)和改进的FBM模型(方案二)分别添加到CFX中，在多个流量系数下对比转数为95的离心泵进行空化流的数值计算，并与试验所得到的空化性能曲线进行对比。最后基于新发展的FBM模型在设计工况下的计算结果，对模型泵内叶片间空泡体积分数分布、叶轮流道总压系数分布和叶片载荷分布进行了分析。

1 数学模型和数值计算方法

1.1 控制方程

基于汽液两相为均相流动，组分之间无滑移，汽液两相的连续性方程、动量方程和汽/液两相的体积分数输运方程依次如下所示：

(1)

(2)

(3)

(4)

式中：t为时间，s；下标i，j为坐标方向；ui、uj为速度分量；ρm、ρv分别为混合介质密度、汽相密度，kg/m3；μ、μt分别为混合介质动力黏度、湍流黏度，kg/(m·s)；p为混合介质压力，Pa；δij为克罗内克数；αv为汽相体积分数；αm为混合介质体积分数；Re、Rc为空化发生过程中汽相、液相之间的质量传输率，kg/(m3·s)。

1.2 湍流模型

将Coutier-Delgosha提出的密度修正方法引入FBM湍流模型，该方法只对湍流黏度进行修正，而原FBM湍流模型的k和ε方程的表达式和模型常数保持不变，修正后的湍流黏度为

(5)

(6)

(7)

其中C3=1。

1.3 空化模型

本文选用Kunz空化模型，该模型是Kunz等在Merkle工作基础上提出的[24-26]。与其他输运方程类空化模型相比，该模型最大的特点在于采用两种不同的方法推导得出质量传输率的表达式。对于液相到汽相的传输，质量传输率正比于汽化压力和流场压力之间的差值；而对于汽相到液相的传输，则是借用了Ginzburg-Landau势函数的简化形式，质量传输率基于汽相体积分数的三次多项式。模型形式如下

(8)

(9)

式中：p为混合介质压力；ρl为液相密度；pv为饱和蒸气压；U∞为自由流速度；L为特征长度；t∞=L/U∞为特征时间尺度；Cdest=9×105，Cprod=3×104。

2 计算模型及参数设置

2.1 研究对象

计算模型为一台中比转数单级单吸离心泵，其基本参数如下：设计流量Q=50 m3/h，扬程H=31.4 m，转速n=2 900 r/min，比转数ns=95，叶轮进口直径D1=81 mm，叶轮外径D2=168 mm，叶轮出口宽度b2=10 mm，叶片出口安放角β2=31°，蜗壳基圆直径D3=180 mm，蜗壳进口宽度b3=22 mm，扭曲叶片数z=5。用Pro/E5.0对计算区域进行三维建模。计算区域由进口延长段、叶轮、蜗壳、出口延长段4部分组成，增加进、出口延长段是为了减小较大的进、出口速度梯度对计算结果精度的影响。

使用ICEM CFD软件对该离心泵计算区域进行六面体结构化网格划分。为了保证数值模拟结果的准确性，进行网格无关性检验，结果如表1所示。

表1 网格无关性分析Tab.1 Inspection of grid independence

结果表明：三组网格数虽然相差较大，但计算扬程误差在0.5%内，故数值计算结果是可靠的。综合考虑计算资源与计算的准确性，选取网格单元总数为139.5万的结构网格进行数值计算。计算区域网格划分如图1所示。

图1 计算区域网格划分Fig.1 Grid of computational domain

2.2 数值计算方法

利用ANSYS CFX 12.1全隐式耦合多网格线性求解，避免了反复迭代的过程，可以同时求解动量方程和连续方程，并且可以有效地模拟漩涡流。

进口边界设置在进口法兰处，采用总压进口，出口边界设置在出口法兰处，采用质量流量出口，假设壁面为绝热、光滑的水力壁面，设置无滑移的壁面边界条件，即时均速度和脉动速度的各个分量均为零，近壁区采用标准壁面函数法处理。进口处的液相和汽相体积分数分别设置为1和0。通过逐步减小泵进口总压的方式使泵内部发生空化。

本研究根据感知价值理论的相关文献，在以前研究者采用的调查问卷基础上结合无现金支付自身的特征，归纳消费者使用无现金支付的影响因素，选择合适的变量作为问卷设计的依据，最后形成了消费者无现金支付使用意愿影响因素量表。量表的所有题项均采用Likert 5级量表，用1-5表示不同意到非常同意5个选项。

为便于处理数值计算和试验数据，定义以下四个无量纲数：

(10)

(11)

(12)

(13)

式中：φ为流量系数；ψ为扬程系数；σ为空化数；Cpt为压力系数；u2为叶轮出口圆周速度，m/s；H为泵扬程，m；ρl为液相密度，kg/m3；g为重力加速度，m/s2；pin为泵进口静压，Pa；Pt、Ptin分别为叶轮流道总压和泵进口总压，Pa。

3 空化试验

为验证数值计算的有效性，对该泵进行了空化试验。该试验在江苏大学国家水泵及系统工程中心闭式试验台上进行，试验装置由汽蚀筒、真空泵、阀门、涡轮流量计、稳压罐、进出水管路和试验段等部分组成，如图2所示。通过真空泵调节进口的真空度，使泵发生空化，同时记录进出口压力、轴功率、转速等试验数据。

1-真空泵；2-球阀；3-汽蚀筒；4-进水管；5-涡轮流量计；6-出水管；7-蝶阀；8-稳压罐 图2 离心泵闭式试验装置示意图Fig.2 Schematic diagram of closed centrifugal pump experimental set-up

4 计算结果及分析

4.1 空化性能曲线

图3为3种不同流量系数不同湍流模型数值计算结果与试验结果的ψ-σ曲线，其中φ=0.103为设计工况。

图3 不同湍流模型数值计算值与实测值的对比Fig.3 Comparison between calculated value and measured value by different cavitation models

从图3可以看出，在各个流量系数下，每个湍流模型都能预测到空化数减小到一定程度时泵扬程系数急剧下降的现象，并且变化趋势和实验结果一致。在小流量和设计工况时，改进的FBM模型(方案二)比FBM模型(方案一)的模拟结果和试验值更为接近；而在大流量工况时，改进的FBM模型(方案二)和FBM模型(方案一)的模拟结果差别不大。这是因为改进的FBM模型考虑了汽/液混合相的可压缩性并且有效减小了湍流黏度，更符合离心泵内存在汽体的空化流计算；而大流量情况时，汽体的相对影响减小，所以得到的计算结果与为改进的FBM模型(方案一)相差不大。

同时从图3可以看出，不同流量系数下模拟计算得到的扬程系数均比试验值高，这可能与离心泵的铸造工艺、CFD计算软件的不完善以及计算模型不能和实际的离心泵完全一致等原因有关。

根据定义，扬程系数下降3%时对应的空化数为临界空化数，不同流量系数、不同湍流模型的临界空化数与试验值对比如表2所示。

表2 临界空化数数值计算值与试验值对比Tab.2 Comparision between critical cavitation values with different model and measured values

从表2可以看出，基于DCM模型密度修正的FBM模型(方案二)比FBM模型(方案一)计算得到的临界空化数更接近试验结果。可以说明基于DCM模型密度修正的FBM模型(方案二)能更较准确地模拟离心泵内的空化流动。因此，基于该模型的计算结果对离心泵内空化流场进行分析。

4.2 离心泵内流场分析

4.2.1 叶片间气相体积分数分布

当离心泵内局部压力低于输送液体工作温度下的汽化压力就会产生空泡。图4为设计工况下不同空化数时，span=0.8切面上叶片间空泡体积分数分布。其中span定义为叶轮后盖板到前盖板的无量纲距离，取值为0～1。

从图4可以明显看出，当σ=0.17时，空泡开始在叶片吸力面生成，并且附着在叶片进口边，随着空化数σ的逐渐减小，吸力面空泡体积分数开始迅速增大。当σ=0.056时，叶片压力面开始有少量空泡生成；当σ=0.045时，叶片压力面生成的空泡和吸力面的相接；当σ=0.036时，空泡几乎完全充满叶片间的流道，这直接影响到液流的正常流动，引起流体和叶片分离，从而直接导致离心泵的性能下降。同时可以明显看到，随着空化数σ的减小，空泡体积分数的最大值从叶片进口边向叶片出口边移动。此外，还可以明显看出，叶片间流道内的空泡体积分数分布并不对称，这主要是由于叶轮和蜗壳之间耦合作用造成的。

图4 不同空化数时切面上叶片间空泡体积分数分布Fig.4 Vapor volume fraction distribution among blades section under different cavitation number

4.2.2 叶轮流道总压系数分布

为研究离心泵内能量的传输过程，在叶轮流道内划分出9个断面，从接近叶片进口的断面0到接近出口的断面Ⅷ，划分出8个不同的区域，如图5所示，从这8个区域来分析叶轮内部的空化流场。

图5 叶轮流道切割断面Fig.5 Flow sections in impellers

首先求出设计工况时各个断面总压系数的平均值，然后求出相邻断面间流道的总压系数增量。从图6可以明显看到，发生在上游断面0～Ⅲ的压力下降是造成净总压系数骤降的主要原因。最后五个空化数虽然减小的幅度很小，但下游净总压系数出现了明显的下降。仔细观察可以发现，在当空化数σ=0.04时，断面Ⅲ～Ⅳ的流道内局部总压系数的升高量与其他空化数时的相比出现了增长，该现象可能和生成的空泡有关，空化导致的堵塞效应引发了有效冲角的局部增长,从而导致径向流速的增加，局部总压增大，局部总压系数增加。但由于此时空化程度高，并没有引起下游净总压系数的增长。

图6 总压系数分布Fig.6 Distribution of total pressure coefficient

4.2.3 叶片表面中间流线载荷分布

选取接近隔舌处的叶片(如图1)来分析设计工况下，离心泵在不同空化数下叶片表面中间流线上的载荷分布。横坐标表示叶片上某点在中间流线方向上的相对位置。其中0表示叶片进口处，1表示叶片出口处。

图7 叶片中间流线上载荷分布Fig.7 Load distribution on middle streamline of blade

叶片载荷为叶片压力面和吸力面所受压力之差，从图7可以看出，叶片表面中间流线载荷整体呈现先增大后减小的趋势。当空化数较大时，叶片表面中间流线载荷变化较小；空化数较小时，叶片表面中间流线载荷最大值较大，并且此时空泡开始在叶片进口处逐渐形成，在叶片进口处的表面中间流线载荷几乎为零。当空化数减小到0.036时，叶片吸力面在Streamwise=0到Streamwise=0.5附近的表面压力几乎保持不变，接近0。在Streamwise=0到Streamwise=0.2附近，叶片所受载荷随着空化数的减小而减小，而在叶片其他位置所受载荷的变化趋势在空化数变化时几乎不变。这说明空化的发展对叶片前缘所受载荷的影响较大。

5 结 论

(1)为了更全面的考虑因空化引起流场密度的变化，将基于密度修正的方法引进到基于滤波修正的RNGk-ε模型中，发展了一种基于密度修正的FBM湍流模型。

(2)应用两种不同湍流模型对离心泵空化流进行数值模拟，发现两种湍流模型均能准确地预测到空化数减小到一定程度后扬程系数的陡降，但基于改进FBM模型(方案二)预测出的临界空化数和试验值更为接近，说明了改进空化模型的适用性更强,预测更为准确。

(3)基于改进的FBM模型，分析了设计工况下模型泵叶片间空泡体积分数分布、叶轮流道总压系数分布和叶片载荷分布，研究发现空化的发展是离心泵性能下降的主要原因。当叶轮流道被空泡阻塞时，引起流动分离，从而扬程显著下降。空化的发展对叶片进口边附近所受载荷影响较大，对叶片其他区域所受载荷几乎没有影响。另外，随着空化的发展，叶片表面载荷的最大值增大。