蓝失谐驱动下双腔光力系统中的光学非互易性*

张利巍 李贤丽† 杨柳

1) (东北石油大学电子科学学院, 大庆 163318)

2) (哈尔滨工程大学自动化学院, 哈尔滨 150001)

1 引 言

非互易光学器件在光源和接收器调换位置后可以使光信号表现出不同的传输特性.由于其可以抑制多余的信号, 因此在量子信号处理和量子通信中有着重要的应用.例如, 在量子超导电路中它们可以保护信号源不被读取器件发出的噪声干扰[1].为实现光学非互易性, 时间反演对称性破缺是必须的.传统的非互易性光学器件都是依赖 强磁场去实现时间反演对称性破缺[2].然而由于需要较强磁场, 这些传统器件体积往往较大, 不便于微型化和集成化.近年来由于纳米技术的进步, 使微纳系统中光学现象得到广泛研究[3-7].腔光力学系统中的光辐射压力可以使系统呈现出各种有趣的量子现象.例如, 腔光力学系统中的量子纠缠[8-16], 力学振子的基态冷却[17-21], 光力诱导透明[22-26]以及非线性效应[26-33]和声子阻塞[34]等量子现象.最近,人们意识到光力耦合相互作用也可以产生光学非互易传输现象.例如通过光力相互作用可以产生非互易光学反应在理论上被预言[35-37], 并在实验上得到证实[38-42].并在理论上指出如果采用适当的驱动场, 以力学模为中介的两个腔模之间的态转换可以是非互易的[43-45], 以及通过光力耦合相互作用可以实现信号非互易放大现象[46-48].在文献[49,50]中, 理论上给出了通过光力相互作用可以实现非互易光子阻塞效应, 以及在文献[51]中, 作者理论上指出通过光力相互作用可以实现非互易慢光.另外, 在文献[52,53]中, 作者理论上预言了通过光力耦合可以实现声子环形器和热二极管.然而在大部分文献当中人们常常采用红失谐的驱动场和的非互易相位差去实现光学非互易性.

本文研究了在蓝失谐驱动下, 在双腔光力系统(如图1所示)中如何实现光场的非互易传输.在此模型中, Li等[48]利用力学驱动机制实现了光的非互易放大, 并在红失谐驱动下, 利用的非互易相位差去实现光学非互易性[43].实际上, 此系统中的光学非互易性源于光力耦合和腔模线性耦合的共同作用, 使从不同路径传输的光信号之间产生干涉效应.本文根据此物理机理并由腔光力学中标准的光场输入输出关系, 得到了实现完美的非互易光传输条件.研究发现, 在系统中各耗散速率一定的情况下, 会有两套耦合强度可以实现光学非互易传输, 并且即使在非互易相位差不为时系统依然可以实现完美光学非互易性.最后根据劳斯-霍尔维茨(Routh-Hurwitz)稳态判据给出了系统在蓝失谐驱动下的稳定条件.这些研究结果有望能应用于在光力系统中实现光频隔离器、非互易态转换等量子信息处理过程.

2 理论模型与主要公式

本文研究了一个双腔光力学系统, 如图1所示, 左右两个光学腔与中间一个力学振子通过光力相互作用耦合;ci(ω0)和b(ωm)分别表示光学腔i和力学振子的湮灭算符(本征频率);κi和γ分别表示光腔i和力学振子的弛豫速率.两个频率均为ωc(ωp)、振幅分别为εc和εd(εL和εR)的强驱动场(弱探测场) 分别从左右两侧射入并驱动腔模c1和c2.同时左右两腔之间由线性相互作用相耦合,J为线性耦合强度.在相对驱动场频率ωc做旋转后, 系统的哈密顿量(ℏ=1)可写为

其 中Δc=ω0-ωc(Δ=ωp-ωc)为腔模 (探测场)与驱动场之间的失谐,gi为光学腔i与力学振子之间的单光子耦合常数.实际上, 此三模光力耦合系统在实验上是可行的, 如在法布里-珀罗(Fabry-Pérot)腔中加入力学膜的实验装置, 见文献[54-56].

图1 双腔光力学系统示意图, 两光学腔通过光力相互作用与一个力学振子相耦合, 振幅为 εc 和 εd (εL 和 ε R)的强耦合场 (探测场)分别从左右两侧驱动腔模 c1 和 c2 , 同时两腔模之间存在线性耦合相互作用JFig.1.A two-cavity optomechanical system with a mechanical resonator interacted with two cavities.Two strong coupling fields (probe fields) with amplitudes εc and εd (εL and εR) are used to drive cavity c1 and c2 respectively.Meanwhile, the two cavities are linearly coupled to each other with coupling strength J.

根据海森伯-郎之万方程, 由系统哈密顿量(1)式可得系统相关算符的运动方程为:

在没有探测场时, 根据假设 〈bci〉=〈b〉〈ci〉 , 可以得出各算符的稳态平均值为:

其中G1=g1c1s,G2=g2c2se-iθ.由等式(3)可知,通过调节驱动εc和εd可以有效调节光力耦合g1c1s和g2c2s之间的非互易相位差θ(即调节驱动场εc和εd的强度和相位可以使c1s为实数, 而此时c2s的辐角便是非互易相位差θ).为简化, 本文只讨论相等耦合G1=G2=G和κ1=κ2=κ, 并 且 设G(J)＞0.本文讨论蓝失谐驱动, 即(Δ1≈ Δ2≈-ωm), 并假设力学振子频率ωm远大于耦合强度G, 则方程(4)可以化简为

由νin的形式可以假设方程(5)的解具有 δs=δs+e-ixt+ δs-eixt(s=b,c1,c2)的形式, 经计算可得

其中γx=γ-2ix,κx=κ-2ix,δs-=0.

系统产生光学非互易性的物理根源是时间反演对称发生破缺, 这点也可从(5)式看出, 运动方程(5)式对应的系统等效哈密顿量为Heff=Gδc1δb+当θ=nπ (n为 整数)时, 时间反演算符T与等效哈密顿算符Heff不对易, 即 [T,H]=0.为研究系统的光学非互易性,首先必须要求出系统左右两侧的输出光场和.输出场可由光力学中的输入输出关系[57,58]得出, 即

3 完美光学非互易性

当系统呈现出完美的光学非互易性时, 传输振幅Ti→j(i,j=L,R)应满足

完美非互易性就意味着信号可以从系统的一侧完全传输到另一侧, 而另一侧的信号却一点也不可以传输过来.(10)式和(11)式代表光频隔离的两个不同的方向.本文只讨论(10)式, 因为对(11)式的讨论是类似的.下标表示没有信号从右侧/左侧输入.我们将忽略这些下标, 因为一般来说完美非互易性只讨论单侧输入的情况, 并且为方便将Ti→j简写为Tij.

由(7)式和(9)式可得输出场为

由(12)式可以看出, 当非互易相位差θ=nπ (n为整数)时, 两输出场相等, 这说明光子传输是互易的.而当θ=nπ 时, 两输出场不再相等, 即系统呈现出光学非互易性.由(12)式可看出系统的非互易性来源于光力耦合相互作用G和腔模线性耦合相互作用J之间的量子相干效应.由(12)式可得出(10)式成立时失谐x和线性耦合强度J必须满足的条件为:

把(13)式中的J代入(14)式中, 得到

由(10)式和(15)式, 可以得出系统出现完美非互易性时, 耦合强度G和J必须满足:

由于系统处于蓝失谐驱动下, 在某些条件下系统会不稳定.系统要稳定, 矩阵M(见(6)式)的本征值一定具有负实部.根据劳斯-霍尔维茨(Routh-Hurwitz)稳态判据[59], 可以得出具体的稳定条件如下:

系统所有的参数必须满足(17)式.由(17)式可知,当耦合G=G-时, 系统始终都是稳定的, 而当G=G+时, 系统参数只有满足以下条件时系统才是稳定的:

4 结 论

本文研究了双腔光力学系统在蓝失谐驱动下的光学非互易性.由系统中的光力耦合相互作用G和腔模线性耦合相互作用J之间的量子相干效应, 在某些条件下, 可以使系统呈现出完美的光学非互易现象.首先研究了非互易相位差的情况, 研究发现, 当系统中各耗散速率(力学耗散速率γ和腔模耗散速率κ)一定的情况下, 会有两组耦合强度(G=G±和J=J±)均可使系统出现完美非互易性.由于系统处于蓝失谐驱动下, 会使系统出现非稳现象, 根据劳斯-霍尔维茨(Routh-Hurwitz)稳态判据我们给出了系统的稳定条件,这种非稳现象也表现为非互易传输谱线会出现增益现象(谱线幅值大于1).我们还发现当γ≪κ时,非互易传输谱线的线宽 Δω∝γ, 即当力学振子耗散速率很小时, 非互易传输谱线将会变得很狭窄.最后研究了更一般的非互易相位差的情况并给出了实现完美非互易传输的必要条件.这些研究结果有望能应用于光力系统中量子态转换、非互易传输等量子信息处理过程.