平行/重合D膜超势，Ooguri-Vafa不变量与类型II弦理论/F理论对偶*

蒋笑添，杨富中

(中国科学院大学物理科学学院， 北京 100049)

在拓扑弦理论中，N=2的镜像对称将两个几何上不同的作为弦紧致化的Calabi-Yau流形联系起来，给出等价的物理模型。其中一个是由Kahler 模参数决定的A模型，另一个是由复结构参数决定的B 模型。引入D膜后超对称破缺到N=1，对应地给出到N=1的特殊几何，此时A/B 模型间存在开闭镜像对称。类似于N=2超对称拓扑弦论中的预势，超对称为N=1时，对应于预势的物理量被称为非微扰全纯超势。它决定了低能有效理论中的F项和弦真空结构。与预势类似，得益于N=1的镜像对称非微扰有效超势可以通过在B模型中微扰计算得到。

(1)

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另一方面，类型II弦理论中的超势可以在F理论中找到一个对偶的描述。使得类型II弦理论中的D膜超势对偶于F理论中的背景流超势。而背景流超势由作为F理论紧化靶空间的四流形的复结构参数给出。换句话说，在F理论中，其对偶类型II弦理论中的开弦模与闭弦模被等同化为复结构参数存在[3]。这个对偶的存在也就提供了一种计算类型II弦理论中的D膜超势的思路，允许我们研究在类型II弦理论意义下的更为复杂的D膜系统。紧化在Calabi-Yau三流形上的类型II弦理论的D膜超势可以通过在其对偶的，紧化在Calabi-Yau四流形上的F理论中的计算得到[4]。四维F理论中，在Calabi-Yau四流形M4上的四形式流G4贡献的超势实际上是以复结构模空间MCS(M4)为底的一个复线丛截面，也就是著名的Gukov-Vafa-Witten超势[5]，形式如下[6]：

O(e-1/gs).

(3)

式中：gs是弦耦合强度而等式右边的领头项正是D膜超势WN=1公式(1)。当取得弱耦合极限gs→0时，由F理论的GVW超势WGVW可以得到D膜超势WN=1：

=WN=1(M3,D).

(4)

此时大部分的耦合自由度不再贡献到超势中来。

迄今为止，对于靶空间紧致的大部分D膜系统的超势计算都只涉及一个开弦形变参数[4,7-13]。 我们利用类型II弦理论/F理论对偶中开闭弦模等价于复结构参数，以及复结构等信息完全包含在F 理论的紧化四流形的组合数据中的优点，研究包含两张D 膜的复杂D 膜系统。D膜系统的平行相区与重合相区分别对应于D膜世界叶上的U(1)×…×U(1)与U(n)非阿贝尔规范理论。本文利用类型II弦理论/F理论对偶，计算以P(1,1,2,2,6)为靶空间的双D膜系统的超势，并提取对应于平行相与重合相的U(1)和U(2) Ooguri-Vafa不变量。

1 平行/重合相的对偶四流形构造

(5)

我们考虑的n个平行D膜由可约除子表示:

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当平行D膜相互靠近并重合在一起时，规范群U(1)×U(1)×…×U(1)提升为U(n)。几何上看，非阿贝尔规范群与新构造的Calabi-Yau流形上的奇异性有关。这里用环几何的语言来描述，奇异曲线对应于对偶多面体的一维棱上的整点。环几何意义下的奇点减消过程是标准化的[18]，即将这些棱上的整点全部补入环簇的定义点集，而补入的每一个点都对应于一个奇点减消后的Calabi-Yau 流形上的例外除子，这个过程被称为吹胀(blow up)。

注意到我们在构造库伦相的扩展多面体时，在一条棱上加了n+1个新点描述n个平行的D膜，而填充在中间的n-1个整点正好减消了忽略它们时带来的n奇异性。反过来想，可以通过抹去这n-1个内点恢复四流形的奇异性，进而构造重合相对应的多面体，给出提升后的U(n)规范群[19]。值得一提的是n曲线奇异性对应的例外除子的相交矩阵与An-1的卡丹矩阵只相差一个自交归一化参数-1。

2 Picard-Fuchs微分方程组，局域解与相对周期

相对周期满足Picard-Fuchs微分方程组，而其微分算子可由GKZ系统较为方便地导出：

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(9)

在大复结构相区，非微扰瞬子修正被以指数形式压制在这些复结构参数中。这组代数坐标环操作不变，可以对该相区进行很好的描述。另一方面，Mori锥与Kahler锥相互对偶，Mori锥生成元la的选定也给出了Kahler锥的一组对偶基，记做Ja∈H1,1(W4)。将对应的局域坐标记为ka，由于大复结构极限点对偶于大半径极限点，ka即 Kahler模空间中的大半径极限点附近坐标，也被称为平坦坐标。

从F理论的观点来看，GKZ系统的算子由对应四流形的5维多面体的组合数据导出。所以该微分系统的解描述了四流形的周期积分，并依赖于四流形的复结构参数。然而从类型II弦理论的观点来看，由于拓展多面体描述的是D膜系统的几何结构，这些局域解记录着开闭镜像映射，D膜超势等与开闭弦模相关的物理量。

在四流形这边，由文献[17]可知GKZ系统的局域解可以由基本周期导出，基本周期为

(10)

使用Frobenius方法可以得到整个周期矢量如下

(11)

式中：n∈{1,…,h}，h等于上同调群H4(M4)的维数。公式(11)中Ka1,a2;n为基本周期w0二阶导的组合系数。镜像对称猜想给出A模型一侧的对偶周期矢量如下：

(12)

在D膜几何的相对周期这侧，取到弱耦合极限时，上面四流形对应的GKZ系统的解将给出对应于开闭镜像映射，体势能(bulk potential)，超势的相对周期。相对周期矢量有如下形式

(13)

(14)

通过对{ka}线性组合可以将开闭弦Kahler模参数分离。

(15)

(15)式中以相对同伦类s∈H1(L),r∈H2(W3)为指标的{Gr,s}为Gromov-Witten不变量，{Nr,s}为Ooguri-Vafa不变量。

3 超势计算与Ooguri-Vafa不变量提取

本节我们将以双D膜在P(1,1,2,2,6)上为例，利用类型II弦理论/F 理论对偶进行超势的计算与Ooguri-Vafa不变量的提取。三流形P(1,1,2,2,6)是由在环绕环簇PΣ(Δ4)中的多项式

a0x1x2x3x4x5

(16)

定义的超曲面给出的。定义环簇的多面体Δ4顶点如下：

v1=(1,1,1,1),v2=(-11,1,1,1),

v3=(1,-5,1,1),

v4=(1,1,-5,1),v5=(1,1,1,-1).

(17)

3.1 平行D膜相

我们考虑由可约除子D=D1+D2描述的平行D膜。其定义多项式为

(18)

(19)

(20)

γ1=D1∩D10,γ2=D7∩D8,γ3=D8∩D9，

(21)

为分离开闭弦模参数，做如下变量代换：

(22)

那么对应于γ1，γ2和γ3的周期积分的领头项如下：

(23)

(24)

由公式(10)可得基本周期与对数周期：

Π0(z)=w0(z;0),Π1,i(z)=∂ρiw0(z;ρ)|ρi=0,

(25)

平坦坐标有

(26)

令qi=exp(2πiki)，i=1,2,3,4，则开闭混合镜像逆映射为：

(27)

由领头项(23)，得到A模型中的闭弦周期与D膜超势如下：

(28)

3.2 重合D膜相

(29)

表1 P(1,1,2,2,6)中平行D膜超势的U(1)Ooguri-Vafa不变量{Nn1,n2,n3,n4}Table 1 The U(1) Ooguri-Vafa invariants {Nn1,n2,n3,n4} for the superpotential of parallel D-branes on the P(1,1,2,2,6)

为简化符号，仍使用ai计为定义多项式的系数。与上一子节中D膜几何定义多项式中的系数关系如下：

(30)

(31)

与平行相区类似，遍历任意两个环除子的交Di∩Dj，构造同调群H4(W4)的基，并挑选出对应于预势与超势的群元：

γ1=D1∩D9,γ2=D2∩D8.

(32)

通过坐标变换

(33)

分离开闭弦模参数，则对应于γ1与2γ2的周期积分领头项为

(34)

使用代数坐标：

(35)

由公式(10)得到基本周期与对数周期如下：

Π0(z)=w0(z;0),Π1,i(z)=∂ρiw0(z;ρ)|ρi=0,

(36)

平坦坐标有

(37)

令qi=exp(2πiki)，i=1,2,3，则开闭混合镜像逆映射为：

(38)

由领头项(34)，得到A模型中的闭弦周期与D膜超势如下：

(39)

表2 P(1,1,2,2,6)中重合D膜超势的U(2)Ooguri-Vafa不变量{Nn1,n2,n3}Table 2 The U(2) Ooguri-Vafa invariants {Nn1,n2,n3} for the superpotential of coincident D-branes on the P(1,1,2,2,6)

4 总结

本文就双D膜在紧化空间P(1,1,2,2,6)上为例，用环簇的语言具体地构造了对应于平行D膜相与重合D膜相的对偶四流形。利用类型II弦理论/F理论对偶得到了平行与重合时D膜贡献的超势，并分别提取对应的Ooguri-Vafa不变量。

两张处于不同位置的平行D膜间存在的离散Z2对称群被解释为非微扰的U(2)规范理论的外尔对称性，而该D膜系统的平行相也对应于U(2)规范理论的库伦分支。平行相区中的计算正如我们所预期的，由两张平行D膜分别贡献的超势在瞬子展开下也展现出了同样的外尔对称性。而在重合相区，D 膜系统由平行D膜相相变为重合D膜相，开闭混合模空间中的形变参数自由度减少，原本相互独立的两个开弦参数约化为一个。D膜世界叶上的规范群也由原来的U(1)×U(1)提升为U(2)。

另外从平行、重合相区分别得到不同的Ooguri-Vafa不变量。即这两个相区对应着不同的BPS态能谱，这可以作为相变发生的一个证据。