曲板测地线法展开的几何化方法*

金 梦，于海燕

(东华大学 机械工程学院，上海 201620)

0 引言

外板一般由可展和不可展曲板构成，大部分外板是不可展曲板。不可展曲板是双向曲度面板，不能直接展开在平面上，一般采用近似展开的方法将曲面分成多个小曲面块，以微分学知识为基础进行处理曲面，根据划分小曲面块的形状将展开方法分为撑线法和准线法[1-2]。撑线展开法适用于纵向曲度大横向曲度小的双向曲度板[3]。准线展开法是依靠四边形小曲面展开，展开时加作一条准线作为四边形的几何约束条件，准线法适于各肋骨线为一组不平行曲线的双向曲度板，测地线是准线法展开中所采用的一种准线。所谓测地线，是指连接曲面上任意两点的最短曲线。由于手工测地线法展开原理简单、图形表达清晰，但是其作图精度及效率低，很难满足曲板展开自动化与精度要求。由于测地线是曲线，以测地线为准线近似展开曲面，精确度更高。在几何学中，将曲面展开求其实际形状，实质就是求边线的展开实长[4]。

早在1997年席平发表三维曲面的几何展开方法[5]，在2004年庞林等发表曲板展开的保形映射法[6]，2001年严国斌等发表一种基于能量模型的曲面改进算法[7]，该算法通过建立能量模型，将曲面划分城小三角形，计算每个三角线顶点的能量，通过能量来计算展开后三角形的边长，这种方法虽然通用性强，但是涉及大量理论力学的知识，原理复杂且计算量大，而且一个三角形点受多个三角形约束，所求的能量释放后的点也是近似点。这几种方法所涉及原理较为复杂，不能完成展开过程的图形显示，而在实际应用中大型外板的展开的研究却很少[8-12]。

目前曲板中适合测地线法展开的主要有扇形板和菱形板。外板展开方法中主要依据是放样提供的已经作好板缝排列的肋骨型线图[13-15]。由于现在的展开方法多数原理复杂计算量大，图像显示不直观。基于简化原理实现展开的自动化以及直观性的目标，本文研究不可展曲度板的测地线法几何化展开，保留手工测地线法的原理简单及图形表述清晰的特点，用几何化的思想解决几何问题。设计一种直观简单的测地线算法实现曲板自动化的展开，以曲板的肋骨型线图为展开对象，结合几何化中几何基的概念完成整个展开图形的显示[16-17]。求解出几何基的序列，并在MATLAB中完成扇形曲板展开的应用实例。

1 测地线法曲面展开原理

测地线又称短程线，是曲面上两点间的最短距离，对于可展曲面来说测地线是一条直线，而在不可展曲面上测地线是一条曲线。测地线法适用于展开扇形板和菱形板这种曲率变化不急剧的双向曲度板，根据画法几何绘图的原理，求取各肋骨曲线拱度，求出拱度最大的肋骨线为初始位置，作图找出所有测地点，根据图1所示的展开算法流程图，首先形成图2所示的展开坐标系，该坐标系以测地线x轴，以距离初始测地点距离为肋骨弯度S处的测地线垂线为y轴。

在求出展开坐标系后，求出肋骨线实长以及上下纵缝线实长，以展开前后小四边形曲面块的边长相等为原则，然后根据所求的各曲线段实长为半径画弧求交点即为展开图形的纵缝点。假设以图1中测地点O4为展开起始位置，以起始点O4为圆心以上纵缝线(下纵缝线)和测地线之间的肋骨型线实长为半径画弧与y轴交于E4点；以E4为圆心，以两肋骨线间的纵缝线实长为半径画弧长与以测地点O5(O3)为圆心，以上纵缝线(下纵缝线)和测地线之间的肋骨型线实长为半径画弧交于点E5(E3)，循环上述画弧求交过程得到所有纵缝点，顺次连接相邻的点即可得到曲板展开图。展开过程中涉及肋骨弯曲程度和肋骨线间投影实长为半径画弧求交点等操作，所以大曲板展开测地线法几何化的最基本三要素分别是：作测地线，求投影线实长，求肋骨弯曲程度S。

图1 曲面展开流程图

图2 曲面展开坐标系

2 测地线法三要素的计算

2.1 求测地线

本研究采用肋骨线中点到其弦长的距离为拱度大小，比较距离长度值，找出拱度最大的肋骨板为起始位置，根据各个肋骨型线编号，找到拱度最大序号的肋骨线。

图3扇形板以拱度最大肋骨板序号# 4的肋骨线中点为第一个测地点，以过# 4号肋骨线中点作其弦线的垂线并与相邻肋骨线的交点为第二个测地点；菱形板则以拱度最大肋骨板及相邻肋骨板中点为起始两个测地点，以画法几何原理作过定点作垂线，以及根据代数化方法的公式(3)求出曲线与直线的交点，在已知弧上求取距离已知点的一定距离点为测地点，找到该点并采用插值拟合的方式顺序连接所有测地点成线。

图3 求取测地点

以手工作图原理为基础，根据代数化的知识，若已知曲线段的首末坐标(x0,y0)(xn,yn)，曲线段中点坐标(xp,yp),相邻曲线函数y=fn(x)，根据公式(1)已知两点连接直线或者根据公式(2)、式(3)求出曲线与直线的交点。

弦线方程：

(1)

垂线方程：

(2)

交点方程：

(3)

2.2 计算投影线实长

所谓投影线的实长是指曲面上任意一条曲线在相邻两条肋骨线间的实际长度。在图4a中可见中两个肋骨板的距离是L，A′B是AB在肋骨板上的投影线长也称作肋骨级数，这三段长度形成图4b的投影三角形，在公式(4)投影三角形的基础上求取AB的实际长度。

(4)

式中,L′—肋骨板间的空间曲线投影线实长；

L—理论肋距；

K—肋骨级数，空间曲线实长在投影面上的投影线长。

(a) 空间三角形 (b) 投影三角形 图4 投影三角形

2.3 计算肋骨弯曲的程度S

曲板展开后，在展开图上肋骨曲线与对应法面的展开线之间的最大拱度就是肋骨弯曲的程度。展开曲板一般只求取曲板的中间肋骨的肋骨弯曲程度，然后由中间向两边开始展开四边形。根据图5中画法几何三角形法，则公式(5)求出肋骨弯度：

(5)

式中,m—肋骨线的拱度。

图5 画法几何三角形法

3 测地线法几何化方法

曲板展开的测地线在画法几何手工作图法中涉及到大量的两点成线、直线与曲线求交以及曲线与曲线求交等步骤，如果结合几何化思想，遵循几何问题几何化，求取肋骨型线上的测地点首先要连接肋骨型线首末两个型值点成弦线，以及求出弦线的垂足以及肋骨线的中点与前后肋骨线求交点，通过手工作图原理，建立几何模型，引入几何基lpp(x1,y1,x2,y2)。

表1 两点求直线lpp()

测地线求取过程涉及过肋骨曲线中点作其弦长的垂线，构造表2所示的几何基ppln()，如图6中直线与x轴夹角为α，中点坐标(xp,yp)直线ax+by+c=0，点到直线距离D=axp+byp+c,则根据式(4)表达出x，y的坐标。

(4)

图6 过已知点向已知直线做垂线

输入:xp,yp float点的坐标 a,b,c float直线法线式方程系数输出:∗x,∗y float所求垂足坐标voidppln(floatxp,floatyp,floata,floatb,floatc,float∗x,float∗y){floatd;d=a∗xp+b∗yp+c;∗x=xp-d∗a;∗y=yp-d∗b;return;}

4 实例应用

4.1 曲面表达算法原理

根据资料所提供的曲板肋骨型线的所有型值点坐标，通过MATLAB读取表格信息，将坐标点存储在数组中方便绘图调用。基于MATLAB中plot的绘图模块直接显示出数据点形成的肋骨型线点的二维图像。采用插值拟合[18]的方式求取出每条肋骨型线的表达式并完成其图像显示，所得的肋骨型线方程存储起来，方便后续求取交点时直接调用。

采用几何化思想改进曲线拟合方法，算法“int computeC( )”用于求取小挠度样条函数系数，算法中列表曲线的点列坐标x[n],y[n]是增值量，比列表曲线的总点数n少一组，而dy1,dyn是曲线的首末点导数，输出样条函数系数c[n]。用表3追赶法求取小挠度样条函数的系数。

表3 追赶法求取小挠度样条曲线系数

完成曲板在MATLAB中的表达，主要绘制出如图7所示的肋骨型线图，根据资料所给的数据点，将数据导入到程序中，并根据表4所述的图形表达算法实现肋骨型线图在MATLAB上的显示。

图7 扇形板肋骨型线图

4.2 求解扇形板测地线几何基序列

大型曲板根据肋骨型线图展开，根据曲板类型的不同，测地线的求取方法在初始测地点的选取上略有区别，在扇形板和菱形板的测地线求取流程上，扇形板以起始展开肋骨线的中点为第一个测地点，第一条弦线垂线与相邻肋骨线交点为第二个测地点，而菱形板则分别以两条相邻肋骨线的中点为第一，第二个测地点，采用手工作图的原理结合几何化思想中的以下几何基：过定点作已知直线垂线的几何基ppln，根据几何化构造直线与曲线求交算法intplsa( )，以扇形板为例构造表4所示的测地点的求取算法，并求取出表5所示的扇形板测地线的几何基求取序列scdx()。

表4 测地点求取算法

表5 扇形板测地线法几何基

4.3 展开结果的显示

根据本章上述原理编写程序实现扇形板在MATLAB中的展开结果的显示，如图8所示，在联想Z400平台下的MATLAB中实验100次，第一次打开速度较为缓慢，27.32s得出计算结果，46.48s输出展开图形，后续99次曲板展开的平均输出计算结果是4.35s，输出图8所示图形是5.22s，展开速度全部低于一分钟，算法不复杂图形清晰。

图8 扇形板展开结果图

5 结论

测地线几何化算法适用于展开n条肋骨线的扇形板，该算法可以为扇形板提供展开的通用算法模块，实现曲板展开过程的可视化及自动化，降低了手工作图的误差并提高了效率，将单一重复的手工画图求交点过程转换成计算机程序，通过构建几何基来代替画法几何的尺规作图步骤，用低于一分钟的速度替代手工作图几小时的工作量，既能解决耗时久的问题，又能保持手工作图的可视化和简单化的特点。求解出曲面展开测地线法通用的几何基序列来代替代数化的繁琐公式步骤，最终实现几何问题几何化方式解决的目标。