压电陶瓷执行器的动态迟滞非线性特性建模*

潘云凤, 潘海鹏, 赵新龙

(浙江理工大学 机械与自动控制学院, 浙江 杭州 310018)

0 引 言

随着微/纳米技术的迅猛发展，智能材料如压电陶瓷[1]，超磁滞伸缩材料[2]，形状记忆合金等材料的执行器，已经应用在光学精密加工工程、微电子制造技术、航天航空技术、超精密机械制造、微机器人操作、生物工程等领域，并且正逐步推广到更多领域。但执行器输入输出表现为非光滑，多值映射的迟滞特性[3]不仅会使系统的控制精度降低，甚至会导致系统不稳定，大大局限了其发展。

Hammerstein模型可以描述迟滞的动态特性，它由一部分非线性静态模型和一部分线性动态模型组成，结构相对简单，且辨识方法多样。向微等人[4]将Hammerstein模型的线性动态部分和非线性静态部分分别用Laguere级数和非线性基表示,辨识得到两部分的参数，此外，智能算法如神经网络[5]、支持向量机(support vector machine,SVM)[6]也已用于Hammerstein模型的辨识，使Hammerstein迟滞模型的辨识过程变得更加简便。但对于压电陶瓷执行器的迟滞特性来说，如何使神经网络类的模型接受迟滞的多值映射性成了辨识难点。Zhang X L[7]等人提出了基于扩展空间辨识法的神经网络辨识法，结合Hammerstein模型得到了率相关迟滞的模型，谢扬球[8]等人也同样运用了扩展空间法来构建神经网络，所不同的是他重构了迟滞信号以消除Hammerstein中间信号不可测的问题。神经网络方法需要设计网络结构，且容易陷入局部最优，还存在一系列过拟合问题，为此Goethals I[9]将最小二乘支持向量机应用于Hammestein模型。徐运扬[10]等人还将支持向量机结合了奇异值分解进行压电陶瓷类迟滞的辨识。

本文利用优化的支持向量机逼近一种新的Backlash迟滞因子建立静态的迟滞非线性模型，再运用Hammerstein结构，引入动态环节来实现动态迟滞建模。本文的创新之处在于：将一种Backlash描述函数算子引入了Hammerstein模型，来提取迟滞环的特征，与万有引力搜索算法优化的支持向量回归机结合来建立静态模型，训练速度快，收敛性强，并用ARX(自回归各态历经)模型实现了动态建模，很好地体现了迟滞的率相关特性，最后用实测数据对模型效果进行了证明。

1 一种Backlash描述函数类迟滞因子

为了将静态迟滞的多值映射特性从系统中解耦出来，变成一一映射，本文将引入一个新颖的迟滞因子来描述迟滞的“上升”，“下降”，“转折”的过程等，此算子提取了大部分迟滞非线性的信息，能够比较好地勾勒迟滞非线性的轮廓。

首先介绍Backlash模型的描述函数[11]，令输入x为幅值为A的标准正弦曲线

x=Amaxsinθ，θ=ωt

Backlash的特性方程可用式(1)，式(2)表示

(1)

(2)

上述标准的Backlash算子加权求和可得到一般迟滞模型[12]。但对于非常规，非平滑的迟滞非线性来说，Backlash的常规模型精度不高，因此引入了以下的Backlash描述函数类算子。

根据谐波分析原理，忽略二次以上谐波分量可得Backlash模型的描述函数

(3)

复数域的计算提高了建模复杂性，所以,由一次谐波分量的定义方式启发,构造

g(θ)=Psinθ+Qcosθ

(4)

(5)

(6)

式中P和Q分别为描述函数的实部和虚部，显然，P关于b对称且单调减小，P∈(0,1),Q≤0，再定义

F(θ)=d·arctan[c·(Psinθ+Qcosθ)]

(7)

式中d,c为函数F(θ)的增益。c控制迟滞特性的大小，γ控制迟滞环的宽度，d控制迟滞环的高度。定义F(θ)为基于Backlash类算子的基本迟滞函数。

采用电容传感器获取压电陶瓷输入电压，驱动电压为幅值为1.5V的正弦波，频率为3 Hz，建立的Backlash描述函数算子如图1所示，叠加单个Backlash描述函数算子可对应不同形状的迟滞环，算子可较好地描述给定输入下迟滞单环的静态迟滞特性。

2 动态迟滞特性的Hammerstein模型与辨识

2.1 Hammerstein迟滞模型结构

考虑压电陶瓷执行器的机理结构，其电压—位移特性可用Hammerstein块状系统[13]来描述，分为静态非线性环节和动态线性环节，再进行串联，其中静态非线性环节用来体现压电陶瓷执行器的静态迟滞非线性，动态环节用来体现系统的动态特性，此动态特性表现为系统输出与输入信号速率有关。压电陶瓷执行器的Hammerstein系统结构如图2所示。

图2 Hammerstein块结构系统

图2中H(·)为迟滞非线性部分，M(·)为线性动态部分，其中，u(t)为输入信号，v(t)为经过H(·)这个迟滞环节后得到的中间变量，y(t)为经过线性动态环节后Hammerstein系统的输出，即执行器的位移估计量。为了构建Hammerstein模型，需要首先建立静态迟滞模型，本文中静态迟滞模型用万有引力搜索算法(gravitation search algorithm,GSA)优化的SVM描述，但与神经网络相同，支持向量回归(support vector regression,SVR)同样只接受一一映射的数据集，因此,采用上文的Backlash描述函数算子与优化SVM混合建模。动态线性部分则由ARX模型描述。

2.2 Hammerstein静态迟滞部分建模

本文采用GSA优化的SVR来逼近Backlash描述函数算子，可将迟滞的多值映射转变为一一映射，从而建立Hammerstein模型的静态迟滞部分。

由于最小二乘支持向量机(least square support vector machine,LSSVM)关键的模型参数a非常稠密，使得支持向量数量多，模型复杂度高，降低了小样本数据的建模效率，一定程度上失去了解稀疏性的特点，因此这里采用不敏感损失函数——SVR(ε-SVR)算法来建立静态迟滞模型，同时，惩罚系数C和采用的径向基函数(radial basis function,RBF)核参数σ，二者的取值对SVM的逼近效果有很大的影响，本文引入了一种GSA来优化ε-SVR。

实验所用训练集可写为

(8)

(9)

ξi≥0,i=1,2,…,N

式中C为惩罚系数，ξ为松弛因子，Φ(x)为x的映射空间。ω项表征拟合误差的大小，ξ项表征模型复杂度，惩罚系数C可平衡二者。构造Lagrange函数求解

(10)

式中ai≥0，μ≥0，ai,i=1,2,…,l为拉格朗日乘子。

运用KKT(Karush-Kuhn-Tucker)最优化条件,整合优化问题成为如下线性方程组

(11)

化简可得

(12)

(13)

式中K(x,xi)称为核函数。本文实验取RBF核函数K(x,xi)=(-(xi-xk)2/2σ2)。

核参数以及惩罚系数不同的选取影响了系统模型的性能，因此本文采用GSA对参数和C进行优化选取。GSA是一种由自然界中万有引力使粒子不断靠近的现象启发而成的智能算法。现将样本点假设为粒子

(14)

(15)

(16)

静态迟滞部分建模步骤如下：

2)将算子输出与输入电压通过GSA-SVR模型：按式(14)、式(15)进行更新直到算法收敛，得到SVR的最佳参数，训练SVR模型H[x(t),F(θ)]，得到静态迟滞输出的估计值，即为Hammerstein模型的中间变量v(t)。

3)记录GSA和SVR的模型参数C，σ，a，b即为静态迟滞模型参数。

2.3 Hammerstein模型动态部分建模

ARX模型[14]是一种有理传递函数模型，本文用ARX模型表征压电陶瓷执行器的动态线性部分。

ARX动态线性部分模型可写为

A(z)y(t)=B(z)v(t)+e(t)

(17)

式中e(t)为系统误差A(z)=1+a1z-1+…+anz-n,B(z)=b0+b1z-1+…bmz-m为单位延迟算子。将ARX模型写为传递函数形式

M(z)=B(z)/A(z)

(18)

动态部分建模步骤如下：1) 压电陶瓷执行器输入1～100 Hz扫描正弦数据，按式(6)算出所对应的Backlash类算子的输出值；2) 将算子输出和输入数据通过静态部分辨识得到的GSA-SVR模型，得到中间变量v(t)；3) 基于实际的迟滞输出位移和中间变量v(t),可用递归最小二乘法辨识出ARX模型的传递函数。

2.4 Hammerstein模型建模整体框架

压电陶瓷执行器的Hammerstein模型整体可写为

(19)

整体辨识方案如图3所示。

图3 整体辨识框架

3 仿真实验

采用压电陶瓷执行器PZT—753.21C(PI公司产品)来验证本文所提出的迟滞模型的性能。该执行器在输入电压0～100 V下，额定位移为0～25 μm，采样频率为30 MHz。测得的数据经过滤波后，采用10 000个数据，将这些数据平均(间隔)分成两部分，5 000个用于逼进迟滞曲线，5 000个用于模型验证。

实验参数设定如下：Backlash算子参数：K0=1,Amax=1.5，c，d=1，b=1/36～1，w=6π,n=36。SVR算法参数：ε设置为0.01。GSA算法参数：群体规模20，最大迭代次数为50。GSA优化结果为C=76.102 4，σ=7.132 2。

迟滞特性在低频时(小于5 Hz)动态线性部分基本忽略率相关性，此时的辨识结果如图4所示。

图4 低频静态迟滞辨识曲线

ARX模型的阶数可采用赤池信息准则(Akaike information criterion，AIC)[15]来确定，由于系统动力学特性一般可由质量—弹簧—阻尼系统表示，因此,经过多次实验，辨识得到的阶次均为2阶。辨识出的二阶系统为

(20)

给压电微动台输入50 Hz正弦电压，获取5 000个数据来验证所提出的模型，输出位移量及迟滞环拟合曲线、误差曲线如图5所示。

图5 50 Hz迟滞数据检验结果

由图6分析可知，建模预测位移值与期望位移值偏差较小，相关性很强。再以均方根误差(root-mean-square error,RMSE)、相对误差(relative error,RE)及R2作为评价标准，公式如下

(21)

得到的MSE为0.008 0，平均RE为1.43 %，R2为0.999 4,最大建模误差为0.053 2 μm。

图6 线性相关曲线

4 结束语

采用Backlash描述函数模型对静态迟滞环进行了拟合，将算子输出与输入电压一起放入SVM模型，从而将迟滞的多值映射特性变为一一映射，由于SVM本身的缺陷，本文采用了GSA算法对SVM进行了优化，SVM的模型输出即为Hammerstein级联结构的中间变量，再通过ARX模型，就可以对迟滞的率相关特性进行描述，所提出的方法的性能通过数值模拟进行了证明。结果表明，所提方法建立的模型与实际模型拟合度好，并且建模速度快。