浅谈新课标下常见的分式方程应用题结构特征及教学应对策略

王保安

摘  要：数学思想，是人们对数学本质认识的反映是数学思维的结晶，它直接支配着数学的实践，是解决数学问题的灵魂，而数学方法则是数学思想的表现形式，是实现数学思想的手段，是解决数学问题的工具，二者合一。称之为数学思想方法。在教学过程中，根据学生的实际结合教材的内容，适当地有效地揭示数学观念讲清数学方法。

关键词：分式方程;教学策略;应用题分析

可化为一元一次方程的分式方程应用题，既是初中阶段新课标要求下的一个重要考点，又是学生学习中的一个难点。作为教师，理解分式方程应用题在不同类型中的不同建构框架，把握基本等量关系，以及巧用相辅依存关系，将分式方程应用题本质结构特征渗透于教学中，以期达到：学生解题时化繁为简，构建方程时快速准确，形成建模意识时强烈而清晰。

为具体、浅显、精准陈述内容，本文借用人民教育出版社2013版，八年级数学第155面习题4，以及第152面例三内容，分两种类型进行简单剖析。

在初中阶段，用方程解决实际问题，常见的基本数量关系比较多，比如：单价×数量=总价、速度×时间=路程，工作效率×工作时间=工作总量等，分式方程应用题必将依据这些关系而存在。

类型一：

题目：A、B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运30kg，A型机器人搬运900kg与B型机器人搬运600kg所用时间相等，两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？

题目中的基本数量关系：工作效率×工作时间=工作总量，从两个方面阐述这种基本关系，即A种机器人工作效率×A种机器人工作时间=A种机器人工作总量：B种机器人工作效率×B种机器人工作时间=B种机器人工作总量。

由于要产生分式，故表示乘积结果的量（工作总量）为已知量。即：A型机器人工作总量是搬运900kg，B型机器人工作总量是搬运600kg，

表示相乘关系的工作效率和工作时间全部从A型机器人与B型机器人两个方面的用相依关系而呈现。效率方面的相依关系：A型机器人比B型机器人每小时多搬运30kg，若设A或B型机器人每小时工作效率为xkg，则另一型机器人每小时工作效率则可用（x30）kg表示，简而言之一个工作效率设为未知数，另一个工作效率则通过相依关系表达未知数，此时时间就以分式的形式呈现。即：A种机器人工作时间，小时  B种机器人工作时间，小时，A、B时间的相依关系（所用时间相等）即可列为方程：。

也可以利用时间的相依关系（所用时间相等）设未知数，表达未知数，比如：设A型机器人搬运900kg所用时间为x小时，则B型机器人搬运600kg所用时间也为x小时。这样A种机器人每小时工作效率为kg，B种机器人每小时工作效率为kg，效率均以分式的形式呈现，效率的相依关系（A型机器人比B型机器人每小时多搬运30kg，）作为构建方程的等量关系：.。

类型一可拓展在行程问题、商品利润问题等以乘积关系为基本关系量，表示乘积结果的量为已知量，相乘的两个量从两个层面揭示相依关系，一个相依关系设未知数、表达未知数，另一相依关系作为构建方程的依据。

类型二：

题目：两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成，哪个队的施工速度快？

题目中的基本关系虽然仍為工作效率×工作时间=工作总量，但在此类型中全部工作总量均可用抽象的单位1表示，设独立完成的时间为x，则工作效率皆可利用这一基本关系表示为，从而产生分式，再利用各个部分工作量的和差相依关系构建方程，简洁明了。试用类型一的模式设未知数、表达未知数、构建方程势必产生繁杂的式子，单独成一类型，学生易于接受。

参考文献：

[1]因式分解教学中数学思想方法的渗透与运用[J]. 邹益民.  中学数学教学. 2001（03）

[2]数学思想方法与因式分解的教学[J]. 裘怿盛.  数学教学通讯. 1995（06）

[3]因式分解知多少[J]. 祁荣圣.  数学教学通讯. 2010（04）

[4]用数学思想方法指导《因式分解》的课堂教学[J]. 傅安高.  中学数学. 1994（09）