浅谈数学与创新思维之发散思维

潘丽钦

摘 要：全国科技大会上指出：“创新是一个民族进步的灵魂，是国家兴旺发达的不竭动力。…一个没有创新能力的民族难于屹立于世界民族之林。”教育部的一个报告指出：“实施素质教育重点是改变教育观念，……尤其是要以培养学生的创新意识和创造精神为主。” 因此数学教学不但应该传授数学知识，还应该培养学生的创新思维。发散思维是指信息处理的途径灵活多变，求结果的丰富多样。它是一种开放性的立体思维，即围绕某一问题，沿着不同方向去思考探索，重组眼前的信息和记忆中的信息，产生新的信息并获得解决问题的多种方案。因此，也把发散思维称为求异思维。它是一种重要的创造性思维。用“一题多解”，“一题多变”等方式，发散式地思考问题。

数学中“一题多解”最著名的例子，是几何学中关于“勾股定理”的证法。 勾股定理（被誉为“千古第一定理”）：一个直角三角形的斜边c的平方等于另外两边（a，b）的平方和。即a2+b2=c2这个定理人们用不同的方法，给出了370多个证明。

这个定理的重要性在于：

1. 它是联系“数”与“形”的第一个重要定理；

2. 它导致了不可公约量的发现（第一次数学危机）；

3. 它开始把数学由计算与测量的技术扩大到证明与推理的科学；

4. 它是最早得出完整解的不定方程，并引导到各式各样的不定方程，包括费马大定理。

数学王子高斯非常重视培养自己的发散思维，并且善于运用发散思维。他非常重视“一题多解”、“一题多变”。 本文从高中数学中出现的几个例子谈谈发散思维的重要性。

一、等差数列前n项和的最值问题.

例：在等差数列{an}中，a1=25，S17=S9则数列的前多少项之和最大？

方法一：由a1=25，S17=S9得

17×25+（17×16）d/2=9×25+（9×8）d/2解得d=-2

从而Sn=25n+n（n-1）（-2）/2=-（n-13）2+169，故前13项之和最大，最大值是169.

方法二：∵Sn=dn2/2+（a1-d/2）n （d<0）

∴Sn的图像是开口向下的抛物线上一群孤立的点。∵S17=S9最高点的横坐标为（9+17）/2，即S13最大，由方法一可得d=-2可求得最大值是169.

方法三：∵S17=S9∴a10+a11+…+a17=0，

∵a10+a17=a11+a16=…=a13+a14=0，∵a1=25>0

∴a13>0，a14<0∴S13最大，由方法一可得d=-2，可求得最大值为169.

方法四：同方法一可得d=-2由 可得25/2≤n≤27/2.

∴当n=13时，Sn有最大值为169.

二、求轨迹有关问题.

例 ：设圆C：（x-1）2+y2=1，过原点O作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程.

方法一：（直接法）设OQ为过O的一条弦，P（x，y）为其中点.则CP⊥OP，OC的中点为M（1/2，0），则|MP|=|OC|/2=1/2得方程为（x-1/2）2+y2=1/4 .考虑轨迹的范围知0

方法二：（定义法）∵∠OPC=90°∴动点P在以M（1/2，0）为圆心OC的直径的圆上，|OC|=1，再利用圆的定义得方程为（x-1/2）2+y2=1/4（0

方法二：由已知得抛物线的焦点为F（1，0），所以直线MN的方程为y=x-1.

本文通过上面几道例子可知创造性思维之发散性思维，这种思维方式，遇到问题时，能从多角度、多侧面、多层次、多结构去思考，去寻找答案。既不受现有知识的限制，也不受传统方法的束缚，思维路线是开放性、扩散性的。它解决问题的方法不是单一的，而是在多种方案、多种途径中去探索，去选择。创造性思维具有广阔性，深刻性、独特性、批判性、敏捷性和灵活性等特点。

创造性思维具有新颖性，它贵在创新，或者在思路的选择上、或者在思考的技巧上、或者在思维的结论上，具有着前无古人的独到之处，在前人、常人的基础上有新的见解、新的发现、新的突破，从而具有一定范围内的首创性、开拓性。

创造性思维具有极大的灵活性。它无现成的思维方法、程序可循，人可以自由地海阔天空地发挥想象力。

参考文献：

[1]王茹. 试论高中数学课堂教学中数学创新思维能力的培养[J]. 数学教学研究， 2008， 27（9）：64-67.

[2] 丁红梅. 新课程背景下高中數学课堂教学中学生创新思维能力的培养策略[J]. 中国校外教育， 2015（22）：97-97.