基于有限元法的V型缺口平板应力集中系数研究

刘庆刚 魏青 韩伟信 于新奇 刘麟

摘要：针对双边V型缺口有限宽平板的应力集中问题，采用有限元软件ANSYS对缺口尖端区域应力场进行了分析。采用数值积分方法对平均应力及不同开口角度2α、不同尖端半径ρ条件下的应力集中系数进行了计算，并将有限元分析结果与Filippi缺口应力场方程的结果进行了对比验证。结果表明，有限元分析方法得到的结果与Filippi方程的计算结果最大误差为3.77%;在缺口尖端处存在明显的应力集中，但随着到缺口尖端距离的增加应力集中系数降低很快;缺口处最大应力集中系数随缺口尖端半径的增大而明显减小，且减小速率逐渐降低;随着缺口角度的增加，应力集中系数缓慢减小。因此，采用有限元方法可以有效开展含缺口结构的应力集中分析，研究方法对于其他复杂含缺口结构的安全分析具有一定的参考价值。

关键词：断裂力学; V型缺口; 应力集中系数; 有限元; Filippi缺口方程

中图分类号：TH114文献标志码：Adoi： 10.7535/hbgykj.2019yx04003

Abstract： Aiming at the stress concentration problem of bilateral V-notch finite width plates， the finite element software ANSYS is used to calculate the stresses at the V-notch， and the numerical integration method is used to calculate the average stress. The stress concentration factors at different opening angles 2α and different tip transition radius ρ are calculated according to the two numerical methods above. The factors obtained by the numerical method are compared with results by the Filippi notch stress field equation and it is proved that the maximum difference between the two methods is 3.77%. The results show that obvious stress concentration exists at the tip of the V-notch， but the concentration factor decreases fast with the increase of the distance away from the notch tip. The stress concentration factor decreases as the radius increases， but the decreasing rate reduces gradually with the increase of the radius. The concentration factor decreases slowly with the increase of the parameter 2α. Finite element method is reliable for the analysis of the stress concentration at the notch tip， and it is beneficial for the safety analysis of the notch at other complex structures.

Keywords：fracture mechanics; V-notch; stress concentration factor; finite element; Filippi notch equation

缺口會引起应力集中，因此缺口部位是各类航空器、机械装置、建筑结构中的薄弱环节，其强度问题需要予以格外重视。因此，为了保障含缺口结构的安全性，自20世纪初期含缺口结构的应力、应变问题得到固体力学领域研究人员的重视，并逐渐形成了“缺口力学”这一固体力学的分支。

在缺口力学领域，国内外学者以V型缺口为研究对象做了大量研究。早期，研究人员的研究工作主要集中在含缺口结构应力场的解析解方面。人们采用不同的应力函数来表示缺口周边应力场[1]，研究并解决了钝裂纹问题[2]、尖锐V形缺口和包含尖端过渡圆弧的V形缺口应力场方程[3]，其中FILIPPI提出的计算公式影响最为广泛。2002年，FILIPPI等[4]在前人研究基础上，考虑平板有限尺寸对应力场的影响，给出更为精确的应力计算式，被后人称为“Filippi缺口应力场方程”，奠定了缺口力学的理论基础。对于尖锐缺口尖端应力场，研究中考虑了微观约束效应[5-6]，引入虚拟缺口圆半径，利用虚拟缺口圆边界的平均应力作为尖锐型缺口尖端的应力值[7-9]。近年来，随着计算机技术的发展，有限元方法（FEM）逐渐应用于缺口结构应力分析中[10-15]。工程问题中，如机械装置、压力容器等问题，由于装置结构复杂难以获得有效的解析解，试验方法成本较高，实施困难。因此，有限元方法由于其方便快捷性，越来越受到人们的重视，在缺口结构应力分析中的应用越来越广泛。

本文以双边V型缺口平板为研究对象，分别采用Filippi缺口方程和有限元方法分析了缺口尖端附近的应力场和应力集中系数，得到了应力集中系数KT与开口角度2α、缺口尖端过渡半径ρ的关系，对于表征含缺口结构的应力状态，保障结构安全具有一定的意义。

1缺口应力集中系数分析方法

1.1几何模型

本文的研究对象为一长方形平板，尺寸为H×L，厚度为δ，板两侧有开口角度为2α，尖端半径为ρ的V型缺口，板材弹性模量E=2×105 MPa，泊松比μ=0.3，在板的顶部和底部分别施加σnom的远场拉应力，缺口模型示意如图1所示。

图1 a）中，a表示单侧开口深度，h表示韧带宽度;图1 b）中，r0表示缺口尖端圆弧高度，q为确定r0和ρ之间关系的辅助参数;σθ，σr，τrθ分别表示极坐标条件下的应力。

1.2解析解

对于本文所述缺口类型，文献＼[4＼]给出了Filippi缺口应力场方程。在平面拉伸应力场下，Filippi缺口应力场方程如式（1）所示。

根据最大应力和名义应力值，计算该V型缺口平板应力集中系数 KT。

对于开口角度为45°的V型缺口沿x方向σθ应力集中系数，采用有限元分析得到的结果和采用Filippi缺口应力场方程得到的结果如图7所示。由图7可知，有限元模拟结果得出的应力曲线与Filippi缺口应力场方程得到的结果具有很好的一致性，表明有限元法具有良好的可靠性。

2结果与讨论

2.1缺口尖端附近应力场分析

通过有限元模拟，得到了沿着缺口中心线x， y， z 3个方向的应力分布，坐标系情况参见图1 b）。根据图1 b），x，y方向的应力分别为σr和σθ。将3个方向的应力绘制成曲线，如图8所示。图8中，横坐标x/ρ为应力点到缺口弧顶距离与缺口半径的比值。由图8可知，y方向的应力远远大于其他2个方向的应力，表明σθ是对缺口强度影响最大的应力。σθ在缺口尖端取得最大值，随着到缺口尖端距离的增加，σθ逐渐减小并接近平均应力值。

2.2开口角度对应力集中系数KT的影响

取缺口尖端过渡半径ρ分别为0.5，1.25和2.5 mm，取不同的开口角度，通过上述有限元法和Filippi缺口应力场方程计算KT，结果如图9所示。由图9可知，有限元方法和Filippi缺口应力场方程得到的结果具有很好的一致性。3个过渡圆弧半径条件下，缺口应力集中系数均随着开口角度的增加而减小。

2.3缺口尖端过渡半径对应力集中系数KT的影响

取缺口的开口角度分别为45°，90°，135°，同样采用有限元法和Filippi缺口应力场方程计算KT，结果如图10所示。由图10可得，应力集中系数随缺口尖端过渡半径增大KT减小，且减小速率降低;3种角度条件下，当过渡半径从05 mm增加到25 mm时，最大应力集系数分别下降了5027%，5062%和3753%。对比图9和图10可以发现过渡圆弧半径对应力集中系数的影响大于开口角度的影响。

3结论

通过对双边V型缺口有限宽平板的有限元计算及Filippi缺口应力场验证，得出以下结论。

1）利用有限元方法计算了不同参数下的缺口应力集中系数值，并与采用Filippi缺口方程的计算结果进行对比，两者最大相差为3.77%，表明有限元方法具有良好的可靠性。

2）沿着缺口中心线方向，σθ的数值远远大于其他2个方向的应力，是决定缺口结构强度的主要因素;随着到缺口尖端距离的增加，σθ值迅速减小，并逐渐接近平均应力。

3）V型缺口平板在缺口尖端处的应力集中程度较大，尖端过渡半径ρ对应力集中系数KT的大小有显著影响。当开口角度为45°时，尖端过渡圆弧半径ρ从0.5 mm增加至1.25 mm，应力集中系数KT从7.59下降到4.86，降幅为35.97%;圆弧半径ρ从1.25 mm增加至2.5 mm，应力集中系数KT从4.86下降到3.54，降幅为27.16%。由此可知，随半径的增大应力集中系数逐渐减小，且减小速率逐渐降低。

4）当开口角度为45°，90°，135°时，尖端过渡圆弧半径ρ从0.5 mm增加至2.5 mm，对应的应力集中系数KT的降幅依次为50.27%，50.62%和3753%。因此，过渡圆弧半径对应力集中系数的影响大于开口角度。

本文的分析結论是在固定板厚下得出的，没有考虑到板厚对应力分布状态的影响，有待进一步研究。另外，许多工程零部件，可能存在缺口尖端过度圆弧半径为0的特殊结构即尖锐缺口问题，也需要进一步研究和探讨。

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