利用特征函数求解连续型随机变量函数的密度函数

文小波 赵雪娇

摘要：求解连续型随机变量函数的分布是概率论与數理统计中较为重要的一个问题，传统的方法往往需要较大的计算量，运用时有一定的局限性.本文以特征函数为载体，给出了求解连续型随机变量函数的密度函数的计算方法.相对于传统的方法，此方法简化了计算.在文中，理论论证之后，分三个层面以某一函数为例，加以论证，得出了一些结论.

关键词：连续型随机变量;特征函数;密度函数;函数变换

中图分类号：O211.1  文献标识码：A  文章编号：1673-260X（2019）07-0001-04

0 引言

连续型随机变量的函数的分布是概率论与数理统计研究理论中的一个重要组成部分，而对于连续型随机变量而言，其密度函数具有良好的分析性质.本文中为论述方便，假设连续型随机变量X的密度函数为px（x），Y是一个新的随机变量，其中Y= g（X）为X的一个函数变换，如何求出Y的分布（密度函数）.以往针对连续型随机变量函数的分布的求解有三种常用的方法：一种是使用分布函数法[1]求解，即先求解随机变量Y的分布函数FY（y），再对FY（y）关于y求导函数，最终可得出Y的密度函数pY（y）;另一种常用的方法是求解具有单调性的特殊函数类的公式法[1]，但是此方法只能用于求解具有单调性的连续型随机变量函数类，所以这种方法的应用有很大的局限性：还有一种方法是积分变限法，即利用密度函数的正则性，亦可求解随机变量函数的密度函数[2].

对于分布而言，利用较多的是分布函数、分布列和概率密度函数，上文涉及的三种常用的方法都是直接利用随机变量X的密度函数来直接求解随机变量Y的密度函数，都需要求导函数和对函数进行积分，计算量一般比较大.函数？渍（t）=E（eitX），-∞<t<+∞称为随机变量X的特征函数，且任意一个随机变量的特征函数总是存在的.特征函数在概率论与数理统计中有很多的应用，是处理概率论与数理统计相关问题的一个重要的有力工具，本文给出了利用特征函数求解连续型随机变量函数密度函数的方法，无需大的计算量，只需要利用特征函数的一些变换即可求出连续型随机变量函数的密度函数，此方法简化了计算，有利于特征函数理论的进一步推广和使用，也为连续型随机变量函数的分布的求解提供了新的方法.

1 利用特征函数求解Y=g（X）的密度函数pY（y）   对于连续型随机变量X，其定义域一般连续充满某个区间或者一些区间的并，做某一函数变换Y=g（X）以后，随机变量Y一般依然为连续型的随机变量.故函数变换Y=g（X）可以拆分为一个或者多个单调区间.借助于特征函数的理论，由此，本文给出以下定理1.

定理1 设X为连续型随机变量，其密度函数为pX（x），Y=g（X）是另一随机变量，X仅在（？滋，v）上有非负值，其中？滋可取-∞，v可取+∞.可将（？滋，v）分为两两互不相容的子区间Ikj，（k=1，2，…，n;j=1，2，…），对于连续型随机变量而言区间端点的取舍对概率的求解并无影响，故Ikj可以是开区间，也可以是闭区间，也可以是半开半闭区间，使得Y=g（X）在分割后的每个Ikj区间上恒有g′（x）>0或者g′（x）<0，即在每个Ikj区间上具有单调性，则Y=g（X）的反函数一定存在，设其为hnj（y），且在此区间上具有相同的单调性.Y=g（X）在Ikj，（j=1，2，…）上有值域（？琢k，？茁k），k=1，2，…，n，其中？茁k-1≤？琢k，k=2，…，n，则有

针对类似的具有多个单调区间的随机变量函数变换，可以参照上述论证过程得以论证，在运用中，也可以直接使用定理1结论的变换方法得出相应的分布.

3 结束语

本文利用特征函数来求解连续型随机变量的函数的分布，不是以特征函数求得新随机变量的特征函数，再以唯一性定理与逆转公式反解密度函数，也不是对特征函数性质中线性变换求解新变量特征函数的运用，而是以特征函数为手段，利用变换技巧直接求解新的随机变量函数的密度函数.所需的计算量较小.在文中所举例的函数中得到了良好的论证，把此方法推广到其他函数之下，同样具有良好的结论.

参考文献：

〔1〕茆诗松，程依明，濮晓龙.概率论与数理统计教程[M].北京：高等教育出版社，2011.104-288.

〔2〕夏天，王学仁.用积分变换法求解连续型随机变量函数的密度函数[J].数学的实践与认识，2013（16）：262-270.

〔3〕黄基延，赵丽免.特征函数的性质及其应用[J].高等数学研究，2014（4）：50-52.

〔4〕茆诗松，程依明，濮晓龙.高等数理统计[M].北京：高等教育出版社，2017.36-50.

〔5〕黄基延，赵丽免.特征函数的性质及其应用[J].高等数学研究，2014（4）：50-52.

〔6〕王艳芳.随机变量的特征函数在恒等式证明中的探讨[J].大连大学学报，2002（6）：80-83.