浅谈数学分析中用定义证明的关键

熊艳琴

摘要：数学分析中经常遇到要用定义的习题，这些很让当代大学生头疼。本文提供了一种证明过程中的小诀窍，可以让学生更好的理解定义以及如何巧妙的完成证明。

一、问题的提出

《数学分析》是数学专业学生进入大学学习的第一门专业基础课，而数列极限中的定义也是初学学习《数学分析》的一个重要的概念，下面我们来看看其是如何定义的。

从上面定义可以看出，数列收敛于 的本质是在的 邻域内含有数列 的无穷多项，这仅仅是一个必要条件。换句话说，并不是在某个数的邻域内含有无穷多项，该数列就收敛;例如：摆动数列 在 1 和 -1 的任意邻域内都含无限项，但是该数列是发散的。同时，改变数列的前面的有限项并不影响其收敛性;例如：常数列 是收敛数列，把前面 6 项替换成任意其它实常数该数列还是收敛的。此外，我们还需注意到，是关于的函数;也就是说，给定我们才可以找到相应的，这里我们可以把当做任意小的正数。自然而然的产生一个问题：

换而言之，数列从第，项开始的项全部落在的邻域。其实，我们也可以取。这也给出了关于写的多种表达方式。

上面给出的是一种简单的思路，实际上，就是求解不等式（2）。在本例題中，不等式（2）转换成不等式（3），不等式（3）是一个关于的一元二次方程，从而利用韦达定理给出解的情况。如果这种等价过程最终转换的不是一个一元二次方程，而是关于的更高次方程。关于更高次方程的解，比如 4 次，我们是无法解的，遇到这种情况我们该如何办呢？从不等式（2）可以看出，如果我们可以找出一个中间量满足

从上面的例题，我们归纳如下：利用定义证明数列极限的收敛性问题归结于寻求的过程，本质上就是求解不等式（1）式;如果从不等式（1）不可以直接求出的范围，那么我们需要寻求中间量满足（3）式，并且我们解不等式是很简单就可以解出的范围的;这样使得解不等式的过程其实是寻找一个可解不等式的过程，只需做适当的放缩就可以。

参考文献：

[1]陈纪修，于崇华， 金路，数学分析（第二版上册），高等教育出版社（2004）。

[2]肖建中，蒋勇，王智勇，数学分析（上册），科学出版社（2015）。

[3]华东师范大学数学系，数学分析（第四版上册），高等教育出版社（2010）。