试论初中数学课堂的数学思想式教学

赵仙

摘 要：数学思想是数学的灵魂，数学方法是使这一灵魂得以展现的途径。新课标提出：“初中数学的基础知识主要是代数几何中的性质概念、法则公式、公理定理以及由其深层次内容所反映出来的数学思想和方法”。

关键词：数学思想；数学灵魂

从心理发展规律看，进行数学思想方法教学是发展青少年思维的重要途径。所谓数学思想方法，就是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识中，经过思维活动而产生的结果，它是对数学事实与数学理论（概念、定理、公式、法则等）的本质认识。从学习的认知结构理论来看，进行数学思想方法教学对数学认识结构发展起着重要作用。中学数学中的主要思想：数形结合思想，分类讨论思想，化归与转化思想。

一、数形结合思想

数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学，因而数学研究总是围绕着数与形进行的。“数”就是方程、函数、不等式及表达式，代数中的一切内容；“形”就是图形、图象、曲线等。数形结合的本质是数量关系决定了几何图形的性质，几何图形的性质反映了数量关系。数形结合就是抓住数与形之间的内在联系，以“形”直观地表达数，以“数”精确地研究形。华罗庚曾说：“数缺形时少直觉，形缺数时难入微。”通过深入的观察、联想，由形思数，由数想形，利用图形的直观诱发直觉。数形结合不仅使几何问题获得了有力的代数工具，同时也使许多代数问题具有了显明的直观性。把代数式的精确刻画与几何图形的直观描述相结合，使代数与几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合，是初中数学中十分重要的思想。应用数形结合思想，就是将数量关系和空间形式巧妙结合在数学问题的解决中，具有数学独特的策略指导与调节作用。数是形的抽象概括，形是数的几何表现，两者其实紧密结合，以此来寻找解题思路，可以使问题得到更完善的解决。

例如，二元一次方程组的图像解法，把数量关系问题转化为图形性质：A，B 两地之间修建一条l 千米长的公路，C 处是以C点为中心，方圆50 千米的自然保护区，A 在C 西南方向，B在C的南偏东30 度方向，问公路AB 是否会经过自然保护区？

二、化归思想

所谓化归，即转化与归结的意思，就是把面临的待解决或未解决的问题归结为熟悉的规范性问题，或简单易解决的问题，或已解决了的问题。化归与转化思想：在教学研究中，使一种对象在一定条件下转化为另一种研究对象的数学思想称为转化思想。体现在数学解题中，就是将原问题进行变形，使之转化为我们所熟悉的或已解决的或易于解决的问题，就这一点来说，解题过程就是不断转化的过程。人们解决问题都自觉不自觉地用到化归的思想，这是一种知识的迁移。在整个初中数学中，化归思想一直贯穿其中。从这个意义上讲，人类知识向前演进的过程中，也都是化新知识为旧知识，化未知为已知的过程。因此，化归是一种具有广泛的、普遍性的、深刻的数学思想，也是解决数学问题的有效策略，它在數学教学中也显示了巨大的作用。

例如，对于整式方程（如一元一次方程、一元二次方程），人们已经掌握了等式的基本性质、求根公式等理论。因此，求解整式方程的问题就是规范问题，而把有关分式方程去分母转化为整式方程的过程，就是问题的规范化，实现了“化归”。

三、分类讨论

分类讨论思想：就是根据数学对象本质属性的共同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，分类是以比较为基础的，它能揭示数学对象之间的内在规律，有助于学生总结归纳数学知识，使所学知识条理化。数学中的分类有现象分类和本质分类两种，前一种分类是以分类对象的外部特征、外部关系为根据的，如复数分为实数与虚数等，这种分法看上去一目了然，但不能揭示所分对象之间的本质联系；后一种分类是按对象的本质特征、内部联系进行分类的，如函数按单调性或有界性分类，多面体按柱、锥、台分类等。

数学分类讨论思想是根据数学本质属性的相同点和不同点，将数学研究对象分为不同种类的一种数学思想。初中数学教材和学习辅导资料中有这样的问题，中考数学试题中也经常会出现与分类有关的问题。在初中数学教学中使用分类讨论的思想研究和解决问题，有助于让学生发现解题思路和掌握技能技巧，做到举一反三，触类旁通；有助于培养学生学习数学的兴趣；有助于学生数学思维的发展，为学生今后的学习奠定坚实的基础。初中数学分类讨论思想应用很广泛，中考中常涉及此类问题。有概念的分类；有解题方法上的分类；还有几何中图形位置关系不确定的分类等等。应用分类讨论，往往能使复杂的问题简单化。教学过程中我们要利用学生已有的认识基础，把生活中的分类迁移到数学中来，在数学教学中进行分类思想的渗透，挖掘教材提供的机会，把握渗透的契机。

例如

已知△ABC是边长为2的等边三角形，△ACD是含30°角的直角三角形。△ABC和△ACD拼成一个凸四边形ABCD。（1）画出四边形ABCD；（2）求四边形ABCD的面积。

分析：含30°角的直角三角形ACD中我们可以把AC作为斜边、AC作为直角边两类情况来研究。

解：情况1：如图1是以AC为斜边和等边三角形ABC拼成的四边形ABCD（∠DAC=30°和∠DAC=60°这两种图形算出的四边形ABCD面积相同的，故归纳为同一类）。

情况2：如图2和3，AC为直角边又可分为二种不同情况。由图1，S四边形ABCD=；由图2，可算得S四边形ABCD=；由图3可算得S四边形ABCD=。

总之，义务教育数学新大纲指出：“初中数学的基础知识主要是代数、几何中的概念、法则、性质、公式、公理、定理以及由其内容所反映出来的数学思想和方法。”通过这些数学方法的使用，使学生充分领略数学思想在数学领域里的地位与作用。

（作者单位：浙江省瑞安市阁巷中学）