辅助函数在数与式的大小比较中的应用

向明国

摘 要：辅助函数是高中数学的重要内容之一，函数知识在数学和其他许多学科中有着广泛的应用。它所反映的数学思想方法已广泛渗透到数学的各个领域。

关键词：辅助函数

许多数学问题运用常规的思考方法解决较为困难，但我们只要善于观察，丰富联想，另辟蹊径，在弄清题目中各条件及结论相互之间联系的基础上，给予适当的逻辑组合，通过构造合适的輔助函数，并运用函数的相关性质，问题将巧妙的得到解决。在数与式的大小比较中适当的引入辅助函数极具新颖性，能有效的使问题转化，达到化难为易的效果。

例1 比较 与 的大小。

解：作辅助函数

，

当 时， ，

又 ，则 ，

所以

，

即 。

评注：本题通过巧构对数函数，将问题转化，经过变形，问题巧妙的得到解决。

例2 若 ，试比较 的大小.

解：令辅助函数 ，并作出 在 内的图像；

易知两函数在 内有一交点，

又 ，

由图可知：

当 时， ，

当 ， ，

当 ， 。

评注：本题通过数形转化，作相应辅助函数，运用函数图像，从“形”的角度比较两式的大小，更直观，显得简洁，明了。

结束语

函数蕴含着许多数学思想，因而通过构建辅助函数将其它的数学问题转化为函数问题，借助于函数思想方法来解决这些问题有很大的应用空间。体现出数学思维的全面性和创造性，能全面提高学生的数学素养。

（作者单位：四川省广元市八二一中学）