用非线性规划方法证明均值不等式

王伟业 路宇 李晓寒

[摘  要：关于均值不等式的证明方法有很多，数学归纳法（第一数学归纳法或反向归纳法）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等，都可以证明均值不等式。现在来考虑用非线性规划的方法来证明[An≤Qn]，其中，[An=i=1nxin=x1+x2+…+xnn，Qn=i=1nx2in=x21+x22+…+x2nn]。非线性规划研究的对象是非线性函数的数值最优化问题，它的理论和方法渗透到许多方面，特别是在军事、经济、管理、生产过程自动化、工程设计和产品优化设计等方面都有着重要的应用。

关键词：非线性规划;均值不等式;K-T条件]

一、非线性规划概述

非线性规划（nonlinear programming）是具有非线性约束条件或目标函数的数学规划，是运筹学的一个重要分支。非线性规划研究一个n元实函数在一组等式或不等式的约束条件下的极值问题，且目标函数和约束条件至少有一个是未知量的非线性函数。目标函数和约束条件都是线性函数的情形则属于线性规划。非线性规划是20世纪50年代才开始形成的一门新兴学科。1951年H.W.库恩和A.W.塔克发表的关于最优性条件（后来称为库恩-塔克条件）的论文是非线性规划正式诞生的一个重要标志。在50年代还得出了可分离规划和二次规划的n种解法，它们大都是以G.B.丹齐克提出的解线性规划的单纯形法为基础的。50年代末到60年代末出现了许多解非线性规划问题的有效的算法。20世纪80年代以来，随着计算机技术的快速发展，非线性规划方法取得了长足进步，在信赖域法、稀疏拟牛顿法、并行计算、内点法和有限存储法等领域取得了丰硕的成果。处理非线性的优化问题并非易事，它没有一个像线性规划中单纯形法那样的通用算法，而是根据问题的不同特点给出不同的解法，因而这些解法均有各自的适用范围。

二、用非线性规划方法证明均值不等式

下文所提到的x均表示n维向量。我们只考虑带约束的非线性规划问题[minf（x）s.t.gix≤0hjx=0]，求解这类问题的方法也称约束最优化方法。引进它的Lagrange函数如下：L（x，[α]，[β]）=f（x）+[i=1pαigi]（x）+[j=1qβjhj（x）]，其中系数[αi]、[βj]叫做Lagrange乘子。利用它的Lagrange函数，K-T条件可写为[∇xLx，α，β=0αigi（x）βjhj（x），]，[∇xLx，α，β]表示Lagrange函数对变量x的梯度向量。在一般情况下，K-T条件的解称为K-T点，作为K-T点，除了满足上述条件之外，当然还应该满足可行性的条件，求一个约束非线性化问题的K-T点时，我们往往需要结合K-T条件与可行性条件。一个解是约束非线性规划问题的最优解的必要条件是这个点是K-T点，在一定的凸性条件下，可以证明上述K-T条件亦是约束非线性规划问题最优解的充分条件。

定理1：对于约束非线性规划问题，若f，[gi]，[hj]在点x处连续可微，若约束非线性规划问题的可行点x满足它的K-T条件，且f，[gi]是凸函数，[hj]是线性函数，则x是约束非线性规划問题的最优解。定理的证明从略。

K-T条件是由Kuhn和Tucker在1951年提出的关于约束非线性规划问题最优解的著名必要条件。而且对于一些具有凸性要求的凸规划问题，Kuhn和Tucker的条件也是它的最优解的充分条件。后来求解约束非线性规划的著名方法简约梯度法就是基于K-T条件设计的。而Kuhn和Tucker提出条件时也运用了数学中求极值时常用的一种方法——拉格朗日乘子法。

下面就利用约束非线性规划问题的K-T条件来证明所说的均值不等式。考虑如下凸规划：[minfx=i=1nx2is.t.i=1nxi=c]，它的拉格朗日函数为L（x，[α]，[β]）=[i=1nx2i]+[β（i=1nxi-c）]，所以可以写出它的K-T条件为[2xi+β=0i=1nxi-c=0]，解它的K-T条件可以得到这个约束非线性规划问题的K-T点为[xi]=[cn]，i=1，2，……，n。又因为此约束非线性规划问题是凸规划，所以此解即为原问题的最优解。把最优解带入原问题可得最优值为f（x）=[i=1nx2i]=[c2n]=[An]，其中A=[（i=1nxi）2]，所以有n[i=1nx2i≥（i=1nxi）2]，整理即为[An≤Qn]。

可以看到，用非线性规划的方法，准确地说是约束最优化方法来证明均值不等式另辟蹊径、方法新颖、更加简洁明了，而且它的意义是不言而喻的：这种证明方法不同于以往那些纯代数的证明方法，它将更偏向于几何的约束最优化法同代数联系了起来。