传递研究“套路”：单元起始课的教学追求

摘要：现行不同版本的初中数学教材中，“三角形”起始课的内容都比较简单，学生在小学都已经学过，因此容易造成“学优生”“空转”的现象。如何把这样内容简单的课教深、教透？根据章建跃博士提出的“发挥数学内部力量”，基于几何图形的研究“套路”重组“学材”，依据“三角形的定义→表示方法→要素与性质→相关要素与性质”的顺序推进“学程”，交替运用画图、观察、发现、归纳、证明、运用等学习方法，开展“三角形”起始课的教学实践。

关键词：三角形 单元起始课 研究“套路” 学材再建构

现行不同版本的初中数学教材中，“三角形”起始课的内容都比较简单（基本上局限于三角形的定义、表示方法、不同分类、三边关系及初步运用）。这些内容学生在小学都已经学过，因此容易造成“学优生”“空转”的现象。而教师为了增加所谓的“课堂容量”，往往会增加一些习题，这是否有实效还有待商榷。如何把这样内容简单的课教深、教透？这是教师教学时常有的困惑。

对此，笔者最近开设了一节“三角形”起始课，根据章建跃博士提出的“发挥数学内部力量”，基于几何图形的研究“套路”重组“学材”，依据“三角形的定义→表示方法→要素与性质→相关要素与性质”的顺序推进“学程”，交替运用画图、观察、发现、归纳、证明、运用等学习方法，达到了较好的教学效果。本文先梳理该课的教学流程，再阐释教学立意，以供研讨。

一、教学流程

（一）画三角形

画图：开课时，教师问学生“是否熟悉三角形”（学生会说“熟悉”），请一个学生到黑板上画一个三角形，并追问“能否定义这个图形”。如果学生不能回答或回答得不准确，则教师给出定义：由三条线段首尾顺次相接组成的图形称为三角形;同时指出：在这个定义中，三条线段分别称为三角形的边，相邻两边组成的角称为三角形的内角;然后出示图1，说明：它的表示方法是△ABC。

为了促进学生理解三角形的定义，教师举出如图2、图3所示的反例，帮助学生理解“三条线段首尾顺次相接”。

在此基础上，教师给出三角形的要素（边、角）及表示方法。板书后，教师安排一道练习训练学生三角形的表示方法。

练习1找一找图4中共有几个三角形？找出来后，用符号表示它们，并说一说每个三角形的边和角。

画图：教师安排学生画3个形状不同的三角形。学生可能画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，也可能画出一些特殊的三角形，如等腰三角形、等边三角形等。教师选择其中一些典型的，追问：“你们画出的这些三角形有什么不同？”引出三角形的不同分类方法，比如按角的大小可分成锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，按边的相等关系可分成非等腰三角形、等腰三角形，然后PPT展示它们之间的关系，如图5。

（二）研究三角形的要素

提问：现在让我们从三角形的定义出发，继续研究三角形的要素——边和角。请大家观察三角形的三边，想一想：三边之间有怎样的数量关系？

预设：學生能够答出“三角形两边的和大于第三边”。教师板书并追问“如何证明这个性质”。如果学生不能很快得出思路，教师可以安排小组讨论。经过讨论，如果学生还是没有思路，教师可以给出课件中的预设（如图6），启发学生如何证明。

练习2用一条长为18 cm的细绳围成一个等腰三角形，能否围成一边的长是4 cm的等腰三角形？为什么？

组织：先安排学生独立思考，再安排学生讲解是如何思考的。如果学生没有进行分类并取舍，则请其他学生进行评析和订正。

提问：继续研究三角形的要素——角。请大家观察三角形的三个角，想一想：三个角之间有怎样的数量关系？

预设：学生能够提出命题“三角形三个内角的和等于180°”。学生在前面学习“平行线”时，应该已经通过习题训练过三角形内角和定理的证明。如果学生之前做过，则指名两名学生口头证明一下，不占用太多的教学时间。如果学生之前没有做过，则告诉他们课后思考一下如何构造辅助线转化证明。

解题：教师组织学生完成“已知三角形中两个角的度数，求第三个角的度数”的练习，然后安排学生小组内再举例求解，加深对三角形内角和定理的理解。

在此基础上，兼顾前面提到的等腰三角形和等边三角形，预设一组追问，利用PPT渐次呈现，如图7。

提问：等腰三角形是一类特殊的三角形，它与三角形内角和结合起来就会有更多重要的性质。直角三角形也是一类特殊的三角形，它与三角内角和结合起来还会有哪些特殊的性质呢？

预设：学生可能会提出“直角三角形两个锐角互余”。教师可以安排其他学生给出证明;进一步还可以引导学生逆向思考“有两个角互余的三角形是直角三角形”，同时指出：题设与结论互换研究是几何命题研究的一种重要思路。

（三）画三角形的高

画图：教师安排学生画锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三边上的高。学生画图之后，教师安排小组交流、核对，让学生发现锐角三角形、直角三角形的三条高都能交于一点，而钝角三角形的三条高不能交于一点。这时，教师可以引导学生将钝角三角形的高所在的直线补全，发现钝角三角形的三条高所在的直线也能交于一点。然后，告诉学生：三角形的奇特性质还有很多，随着学习的深入，掌握工具的增多，我们就可以挑战这些奇特性质的证明了。

练习3如图8，AD、BE是△ABC的高，若BC=7，AC=5，BE=6，求AD的长。

预设：学生利用面积法可以求出该题的解。教师注意再安排一个学生讲解思路，让更多的学生理解;并进一步强调面积法的重要性。

变式如图9，直角三角形ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，求斜边AB上的高CD的长。

（四）总结研究“套路”

教师引导学生回顾本课是如何对三角形进行研究的，为学生梳理出几何对象的研究“套路”，以便学生掌握研究方法。可以利用PPT渐次展开研究路径，并补全结构化板书（如图10）。

二、教学立意的进一步阐释

（一）基于三角形的研究“套路”进行“学材再建构”

熟悉当前几种版本初中数学教材的教师应该会发现，本课教学并没有根据某一种版本的教材“照本宣科”，而是基于三角形的研究“套路”进行了“学材再建构”，以画图活动驱动不同环节的教学进程。具体来说，活动1是画出不同形状的三角形，在此基础上定义三角形，学习三角形的表示方法和基于不同标准对三角形进行分类;活动2是在三角形定义和表示的基础上研究组成三角形的要素（边和角）及性质;活动3是画出三角形的高，作为三角形的“重要线段”之一，感受三条高所在的直线能够交于一点;活动4是回顾小结，即回顾本课是如何研究三角形的。

（二）“学程”推进中注意不同学习方法的交替运用

本课的“学程”推进中，先后体现了画图、观察、发现、归纳、证明、运用等学习方法的交替运用，使学生的学习并不枯燥乏味，体现了富有趣味的数学学习方法。另外，在画图活动之后，教师顺势引导学生观察与发现，促进了思考;在归纳与证明的环节，体现了数学不能止步于“基于特殊”的猜想，而要走向“指向一般”的证明;在性质运用时，又让新知的价值得到了体现。这些学习方法交替运用、层层推进，使得学生经历了完整的学习过程。

（三）课堂小结时引导学生反思三角形的研究“套路”

本课的小结，笔者没有把主要精力花在知识点的复习上，而是通过引导学生回顾反思“我们是如何研究三角形的”，向学生传递几何图形的研究“套路”（方法）。在研究三角形的过程中，有多种研究“套路”，比如“定义→要素→相关要素”“定义→性质→判定”“一般三角形→特殊三角形”等等。本课的“学程”推进，偏重于“定义→要素→相关要素”的研究路径;后续研究时，可以结合特殊三角形的引入丰富研究方法。

参考文献：

[1] 李庾南，冯卫东.学材再建构，在结构中教与学[J].数学通报，2018（8）.

[2] 章建跃.学会用数学的方式解读内容设计教学——以“相交线”为例[J].数学通报，2019（1）.

[3] 刘东升.从几何研究的基本方法出发——用“作图”驱动“点和圆的位置关系”教学[J].教育研究与评论（中学教育教学），2018（6）.