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传递研究“套路”:单元起始课的教学追求

2019-09-10刘东升

关键词:套路三角形研究

摘要:现行不同版本的初中数学教材中,“三角形”起始课的内容都比较简单,学生在小学都已经学过,因此容易造成“学优生”“空转”的现象。如何把这样内容简单的课教深、教透?根据章建跃博士提出的“发挥数学内部力量”,基于几何图形的研究“套路”重组“学材”,依据“三角形的定义→表示方法→要素与性质→相关要素与性质”的顺序推进“学程”,交替运用画图、观察、发现、归纳、证明、运用等学习方法,开展“三角形”起始课的教学实践。

关键词:三角形 单元起始课 研究“套路” 学材再建构

现行不同版本的初中数学教材中,“三角形”起始课的内容都比较简单(基本上局限于三角形的定义、表示方法、不同分类、三边关系及初步运用)。这些内容学生在小学都已经学过,因此容易造成“学优生”“空转”的现象。而教师为了增加所谓的“课堂容量”,往往会增加一些习题,这是否有实效还有待商榷。如何把这样内容简单的课教深、教透?这是教师教学时常有的困惑。

对此,笔者最近开设了一节“三角形”起始课,根据章建跃博士提出的“发挥数学内部力量”,基于几何图形的研究“套路”重组“学材”,依据“三角形的定义→表示方法→要素与性质→相关要素与性质”的顺序推进“学程”,交替运用画图、观察、发现、归纳、证明、运用等学习方法,达到了较好的教学效果。本文先梳理该课的教学流程,再阐释教学立意,以供研讨。

一、教学流程

(一)画三角形

画图:开课时,教师问学生“是否熟悉三角形”(学生会说“熟悉”),请一个学生到黑板上画一个三角形,并追问“能否定义这个图形”。如果学生不能回答或回答得不准确,则教师给出定义:由三条线段首尾顺次相接组成的图形称为三角形;同时指出:在这个定义中,三条线段分别称为三角形的边,相邻两边组成的角称为三角形的内角;然后出示图1,说明:它的表示方法是△ABC。

为了促进学生理解三角形的定义,教师举出如图2、图3所示的反例,帮助学生理解“三条线段首尾顺次相接”。

在此基础上,教师给出三角形的要素(边、角)及表示方法。板书后,教师安排一道练习训练学生三角形的表示方法。

练习1找一找图4中共有几个三角形?找出来后,用符号表示它们,并说一说每个三角形的边和角。

画图:教师安排学生画3个形状不同的三角形。学生可能画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形,也可能画出一些特殊的三角形,如等腰三角形、等边三角形等。教师选择其中一些典型的,追问:“你们画出的这些三角形有什么不同?”引出三角形的不同分类方法,比如按角的大小可分成锐角三角形、直角三角形、钝角三角形,按边的相等关系可分成非等腰三角形、等腰三角形,然后PPT展示它们之间的关系,如图5。

(二)研究三角形的要素

提问:现在让我们从三角形的定义出发,继续研究三角形的要素——边和角。请大家观察三角形的三边,想一想:三边之间有怎样的数量关系?

预设:學生能够答出“三角形两边的和大于第三边”。教师板书并追问“如何证明这个性质”。如果学生不能很快得出思路,教师可以安排小组讨论。经过讨论,如果学生还是没有思路,教师可以给出课件中的预设(如图6),启发学生如何证明。

练习2用一条长为18 cm的细绳围成一个等腰三角形,能否围成一边的长是4 cm的等腰三角形?为什么?

组织:先安排学生独立思考,再安排学生讲解是如何思考的。如果学生没有进行分类并取舍,则请其他学生进行评析和订正。

提问:继续研究三角形的要素——角。请大家观察三角形的三个角,想一想:三个角之间有怎样的数量关系?

预设:学生能够提出命题“三角形三个内角的和等于180°”。学生在前面学习“平行线”时,应该已经通过习题训练过三角形内角和定理的证明。如果学生之前做过,则指名两名学生口头证明一下,不占用太多的教学时间。如果学生之前没有做过,则告诉他们课后思考一下如何构造辅助线转化证明。

解题:教师组织学生完成“已知三角形中两个角的度数,求第三个角的度数”的练习,然后安排学生小组内再举例求解,加深对三角形内角和定理的理解。

在此基础上,兼顾前面提到的等腰三角形和等边三角形,预设一组追问,利用PPT渐次呈现,如图7。

提问:等腰三角形是一类特殊的三角形,它与三角形内角和结合起来就会有更多重要的性质。直角三角形也是一类特殊的三角形,它与三角内角和结合起来还会有哪些特殊的性质呢?

预设:学生可能会提出“直角三角形两个锐角互余”。教师可以安排其他学生给出证明;进一步还可以引导学生逆向思考“有两个角互余的三角形是直角三角形”,同时指出:题设与结论互换研究是几何命题研究的一种重要思路。

(三)画三角形的高

画图:教师安排学生画锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三边上的高。学生画图之后,教师安排小组交流、核对,让学生发现锐角三角形、直角三角形的三条高都能交于一点,而钝角三角形的三条高不能交于一点。这时,教师可以引导学生将钝角三角形的高所在的直线补全,发现钝角三角形的三条高所在的直线也能交于一点。然后,告诉学生:三角形的奇特性质还有很多,随着学习的深入,掌握工具的增多,我们就可以挑战这些奇特性质的证明了。

练习3如图8,AD、BE是△ABC的高,若BC=7,AC=5,BE=6,求AD的长。

预设:学生利用面积法可以求出该题的解。教师注意再安排一个学生讲解思路,让更多的学生理解;并进一步强调面积法的重要性。

变式如图9,直角三角形ABC中,AC=3,BC=4,AB=5,求斜边AB上的高CD的长。

(四)总结研究“套路”

教师引导学生回顾本课是如何对三角形进行研究的,为学生梳理出几何对象的研究“套路”,以便学生掌握研究方法。可以利用PPT渐次展开研究路径,并补全结构化板书(如图10)。

二、教学立意的进一步阐释

(一)基于三角形的研究“套路”进行“学材再建构”

熟悉当前几种版本初中数学教材的教师应该会发现,本课教学并没有根据某一种版本的教材“照本宣科”,而是基于三角形的研究“套路”进行了“学材再建构”,以画图活动驱动不同环节的教学进程。具体来说,活动1是画出不同形状的三角形,在此基础上定义三角形,学习三角形的表示方法和基于不同标准对三角形进行分类;活动2是在三角形定义和表示的基础上研究组成三角形的要素(边和角)及性质;活动3是画出三角形的高,作为三角形的“重要线段”之一,感受三条高所在的直线能够交于一点;活动4是回顾小结,即回顾本课是如何研究三角形的。

(二)“学程”推进中注意不同学习方法的交替运用

本课的“学程”推进中,先后体现了画图、观察、发现、归纳、证明、运用等学习方法的交替运用,使学生的学习并不枯燥乏味,体现了富有趣味的数学学习方法。另外,在画图活动之后,教师顺势引导学生观察与发现,促进了思考;在归纳与证明的环节,体现了数学不能止步于“基于特殊”的猜想,而要走向“指向一般”的证明;在性质运用时,又让新知的价值得到了体现。这些学习方法交替运用、层层推进,使得学生经历了完整的学习过程。

(三)课堂小结时引导学生反思三角形的研究“套路”

本课的小结,笔者没有把主要精力花在知识点的复习上,而是通过引导学生回顾反思“我们是如何研究三角形的”,向学生传递几何图形的研究“套路”(方法)。在研究三角形的过程中,有多种研究“套路”,比如“定义→要素→相关要素”“定义→性质→判定”“一般三角形→特殊三角形”等等。本课的“学程”推进,偏重于“定义→要素→相关要素”的研究路径;后续研究时,可以结合特殊三角形的引入丰富研究方法。

参考文献:

[1] 李庾南,冯卫东.学材再建构,在结构中教与学[J].数学通报,2018(8).

[2] 章建跃.学会用数学的方式解读内容设计教学——以“相交线”为例[J].数学通报,2019(1).

[3] 刘东升.从几何研究的基本方法出发——用“作图”驱动“点和圆的位置关系”教学[J].教育研究与评论(中学教育教学),2018(6).

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