解决实际问题，数学建模显身手

王修汤

一、为何需要数学建模

数学建模是对实际问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的一种素养.主要包括：在实际情境中从数学的视角发现并提出问题，分析和建立模型，求解结论，验证结果并改进模型，最终解决实际问题.建模是一个动态的过程，要根据具体问题，在一定的条件假设下找出解决这个问题的数学框架（即模型），然后再求出这个数学模型的解.

事实上，一切数学概念、数学理论体系、数学公式、定理和算法系统都可以称之为数学模型，它是静态的数学成果.例如，二次函数、幂函数、方程、不等式、三角函数、向量等都是数学模型，很多数学问题或者实际问题都可以转化为这些模型来解决.

简言之，数学模型搭建了数学与外部世界的桥梁，是数学应用的重要形式.数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段，也是推动数学发展的动力.

二、积累数学模型

既然一切数学概念、公式和定理都可以称为数学模型，那么在平时的学习中就要善待这些概念、公式和定理，将课本中的概念、公式和定理尊称为模范、楷模也不为过，这是学好数学的底线.不仅如此，在平时学习中还要善于积累白己发现并建立的一些数学模型.多留意解题时发现的一些小结论、小公式和小技巧，并记录下来备用，这对于解决新的数学问题一定大有裨益，这叫做“腹有诗书气自华”.

例如在学习《必修1》中指数函数时，我们在课本上学过这样一道例题：

某种储蓄按复利计算利息，若本金为a元，每期利率为r，设存期为x（x∈N*），本利和（本金加上利息）为y元.（复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算做本金，再计算下一期的利息）.

（1）试写出本利和y随存期x变化的函数关系式;

（2）如果存入本金1 000元，每期利率为2.25%，试计算5期后本利和是多少？

首先抽象出复利计算利息下的本利和公式：y=a（1+r）x，然后要能类比到其他的增长率问题上，得到一个函数模型：如果原来的基础数为a，平均增长率为p%，则关于时间x的总量y可表示为：y=a（1+p%）x.

进一步你还可以推导出单利计算利息下的本利和公式：y=a+xr（其中a为本金，r为利率，x为期数）.如果你是一个有心人，你就应该记住这些公式，等到遇到以下两个问题时，你就会利用已有的数学模型轻而易举地拿下.

变题1 如果1年期储蓄的月利率为1.65%，那么按照单利.将10 000元分别存1个月，2个月，3个月，…，12个月，所得的本利和依次为10 000+16.5，1O OOO+16.5×2，…，则第n个月所得的本利和为____.

变题2 某人年初投资10 000元，如果年收益是5%，那么按照復利，5年内各年末的本利和依次是：10 000×1.05，10 000×1.052，…，则第n年所得的本利和为______.

再如苏教版必修4课本第71页例4题目如下：如图1，△OAB中，C为直线AB上一点，AC=λCB（λ≠-1）.求证：OC=OA+λOB/1+λ.

将结论改写成OC=1/1+λOA+λ/1+λ·OB后，我们发现右边系数之和为1.利用（1+λ）OC=OA+λOB，解得OA=-λOB +（1+λ）OC且OB=1+λ/λ-1/λOA≠O），它们的系数之和都为1.

于是我们可以得出一个模型：从点O出发的三个向量OA，OB，OC，则A，B，C三点共线？OC=AOA+bOB且a+b=1.

记住这个模型，可以解决很多向量问题.

三、建立数学模型

当我们掌握了基本的简单的数学知识之后，我们就可以利用所学的知识建立较复杂的数学模型.

那么数学建模的步骤有哪些呢？

数学建模的过程一般包括以下六个步骤：提出问题、模型假设、建立模型、求解模型、检验结果、完善模型.

下面简单介绍生活中两类常用的数学模型，同学们以后将会学习这些模型，学习时一定要注意研究模型的背景、形成的过程、应用的范围，并能够在熟悉的实际情境中，模仿学过的数学建模过程解决问题.

1.经济数学模型

存款时，可以抽象出单利或复利模型;贷款时，可以抽象出等额本金付款模型;还有工厂生产与销售问题的模型;企业的供求平衡方程等数学模型.

2.社会数学模型

有选举模型，诸如席位分配问题、累积选举方法中的选举问题;还有人口模型，即人口增长的指数增长模型（x（t）=x0en）和阻滞增长模型（x（t）=xm/1+（xm/x0-1）e-rt）等等。

总之，学好课本中的所有数学模型，积累自己发现的一些数学模型，通过观察、分析、综合和类比，利用已经掌握的数学模型解决未知的数学问题，甚至是未知的数学模型，你，一定行！