例谈三角函数与三角恒等变换

仝建

亲爱的同学们，今天我们来复习必修4三角函数和三角恒等变换的内容.这两章的内容主要包含哪些重要的题型呢？其中义运用了哪些重要的概念、公式和思想方法呢？让我们一起来看一看，练一练吧.最好自己动手先做，然后再看解析.

1.三角函数的概念

例1 （1）若θ为第四象限的角，试判断sin（cosθ）.cos（sinθ）的符号;

（2）已知角α的终边过点P（-3cosθ，4cosθ），其中θ∈（π/2，兀），求α的正切值.

解 （1）因为θ为第四象限角，所以00，cos（sinθ）>0，所以sin（cosθ）·cos（sinθ）>0.

小贴士 （1）判断三角函数的符号，需根据三角函数的符号规律“一全正，二正弦，三正切，四余弦”，即角的终边在第一象限时，三个三角函数都是正的，角的终边在第二象限时，只有正弦是正的，角的终边在第三象限時，只有正切是正的，角的终边在第四象限时，只有余弦为正.同时还要注意到正弦函数和余弦函数的最值是±1.（2）已知角终边上点的坐标，求角的三角函数值，首先要想到使用三角函数定义，同时还要注意角的范围，必要时按象限进行讨论.

2.同角三角函数的基本关系与诱导公式

小贴士 结合诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”，准确记住这些诱导公式是正确解答此类问题的前提.在利用诱导公式进行三角式的化简、求值时，要注意正负号的选取.解此类题的常用技巧有：（1）弦切互化，减少或统一函数名;（2）“1”的代换，如：1=sin2α+cos2α（常用于解有关正、余弦齐次式的化简求值问题），1一tanπ/4 等;（3）若式子中有角kπ/2，k∈Z，则先利用诱导公式化简.

3.三角函数的图象及变换

（1）求此函数解析式;

（2）分析一下该函数的图象是如何通过y= sin x的图象变换得来的.

4.三角函数的性质

（1）求f（x）的单调区间;

（2）若x∈[0， π/2]时，f（x）的最大值为4，求a的值;

（3）求f（x）取最大值时x的取值集合.

（2）因为0≤x≤π/2，所以π/6≤2x+π/6≤7π/6，所以-1/2≤sin（2x+π/6）≤1，

所以f（x）的最大值为2+a+l=4，所以a=1.

（3）当f（x）取最大值时，2x+π/6=π/6+2k兀，所以x=π/6十k兀，k∈Z.所以当f（x）取最大值时，x的取值集合是{x|x=π/6+k兀，k∈Z}.

小贴士 形如y= Asin（ωx+ω）+k单调区间求解策略：可以把“ωx+Φ”看成一个整体，代人正弦函数的相应区间求解，当ω为负数时，一般先用诱导公式把x的系数化为正数.

5.三角函数式的求值问题

（2）在△ABC中，3sin A+4cos B=6，4sin B+3cos A=1，求C的大小.

（2）两式左右两边分别平方相加，得sin（A+B）=1/2，则sin c=sin[π- （A+B）]=1/2，所以C=π/6或C=5π/6.又3sin A=6-4cos B>2，得sinA>2/3>1/2，所以A>π/6，所以c<5/6π，故C=π/6·

小贴士 （1）给角求值：一般所给的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角之间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题.（2）对于给值求角的问题，对角范围的分析很重要，是防止出现增解的重要手段.（3）给值求值：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如α=（α+β）- β，2α=（α+β）+（α+β）等，有时通过把已知角（或所求角）换元，找到已知角与所求角的联系也是很有效的办法.

6.三角恒等变换的综合应用

例6 已知函数f（x）=sin（π/2-sinx）sinx-√3cos2x.

（1）求.f（x）的最小正周期和最大值;

（2）讨论f（x）在[π/6，2π/3]上的单调性. （2）当x∈[π/6，2π/3时，0≤2x-π/3≤兀，从而当0≤2x-π/3≤π/2，即π/6≤x≤5π/12时，f（x）单调递增;当π/2≤2x-π/3≤π，即5π/12≤x≤2π/3时，f（x）单调递减.

所以f（x）在[π/6，5π/12]上单调递增，在[5π/12，2π/3]上单调递减.

小贴士 对三角函数性质的考查主要涉及单调性、奇偶性、周期性等.解答时通常是先将函数简化为形如f（x）=Asin（ωx+Φ）+B的形式，然后根据正弦函数的图象与性质求解.

7.转化与化归思想

例7 已知|x|≤π/4，求函数f（x）=COS2x+ sinx的最小值.

解 y=f（x）=cos2x+sin x=sin2x+ sinx+1.令t=sinx，因为|x|≤π/4，所以-√2/2≤t≤√2/2.

所以当t=√2/2时，即x一-π/4时，f（x）有最小值，且最小值为1-√2/2.

小贴士 在求解形如y=Asin2 x+Bsin x+C的值域或最值时，常令t= sinx转化为一元二次函数再求解，换元时需注意新变元的范围.这体现了三角函数中的转化与化归的思想方法.