数学相声——三角函数

秦诗砚

甲：唉，马上江苏高考义要改革了，咱家孩子义要苦学了.

乙：谁说不是啊，我们家孩子感觉最难的就是数学，这几天回家一直给我念叨着“三角韩术”，肯定是韩国那边弄出来为难孩子的……

甲：等等，什么？一听就知道你是文盲了吧，这叫三角函数.我为了给孩子补习，可是做了功课的.

乙：是吗？那我可要考考你，这三角函数是什么地方的？

甲：照你的说法，那就是韩国.

乙：错错错.

甲：说来话长，三角函数最初是古希腊的.古希腊三角术的奠基人是公元前2世纪的喜帕恰斯，他实际上给出了最早的三角函数数值表.然而古希腊的三角学基本是球面三角学，这与古希腊人研究的主体是天文学有关.梅涅劳斯在描述球面的梅涅劳斯定理时就用到了正弦.托勒密就更了不得了，他不仅给出了计算和角公式和半角公式的方法，还给出了所有O到180度的所有整数和半整数弧度对应的正弦值……

乙：停停停，还是错的，这三角函数不就是数学书上的吗？你说了这么一大堆，全是照着书读的，我们说点实在的，别这么玄乎，

甲：好好好，你先说说三角函数有哪些.

乙：正弦sin，余弦cos，正切tan，余切cot，正割sec，余割csc.

甲：这后面三个我怎么没听说过？

乙：这就是你研究不深啦，余切，正割，余割，虽然已经从高中课本上消失了，但仍是三角函数的重要组成部分.要不然怎么总说“‘割只是个传说”呢？

甲：不错，他们现在学的三角函数多在平面直角坐标系中半径为1、圆心为原点的单位网内.单位网的定义在实际的计算上其实并没有多大的用处，但是它允许了三角函数对所有的正角和负角都有定义，也不仅仅是对于在0和π/2弧度之间的角.根据勾股定理，对于网上的任意点（x，y），x2+y2=1.

乙：这么说来，所有角都可以这样解决：以原点为角θ的顶点，把角的始边与x轴正半轴重合，则终边与单位圆交点的横坐标是cosθ，纵坐标就是sinθ.

甲：对，等你熟练了，就用不着这么繁琐地画图了，把特殊角的三角函数值记牢了就能一通百通.因为对于大于2兀或小于O的角，可直接继续绕单位网旋转得到.在这种方式下，正弦和余弦变成了周期为2兀的周期函数：对于任何角θ和任何整数k，都可以用诱导公式解决.

乙：哟，这专用名词还懂得不少，别急，我先来考考你. 30°的正弦是多少？

甲：这还不简单，1/2.

乙：那225°的余弦呢？

甲：这就要诱导公式发挥作用了.cos225°=cos（180°+45°）= -cos45°，答案是-√2/2.

乙：記这么熟，有什么口诀？

甲：嘘，小声点，可不能让别人听了去.奇变偶不变，符号看象限.一全正，二正弦，三正切，四余弦.

乙：别这么小气，这么简单，大家肯定都会.

甲：那我们就说点高深的，“欧几里得定理”.

乙：怎么义去了欧洲？

甲：他可是古希腊著名的数学家，人家名字里有个“欧”就是欧洲的？这么说泰姬陵还是泰国的.

乙：好，算我错了.那这个“欧几里得定理”义是什么？

甲：说得通俗点，就是射影定理.

乙：影子？

甲：对，在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项.

乙：这我知道，初中就学过了.

甲：那就给你上堂新课.在△ABC中，设∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则有a=bcosC+ ccosB，b=（cosA +acosC，c=acosB+bcosA.

乙：也不算难啊，

甲：就怕说出来你不会，三角恒等式可难倒了大批学生，像蛇一般扭动的正弦、余弦图象不叫你看花了眼才怪.我觉得，三角函数的奇妙就在于它可以用于各种领域.

乙：真的？

甲：就说那二倍角公式，在牛顿运动定律的应用上，机械能守恒的应用上，非它不可.可惜啊，我高中没好好学.

乙：现在也不晚啊，跟孩子一起学，不是挺好？

甲：是啊.

合：学到老，活到老.