PSO优化的高速列车轴温灰色预测模型*

邓佳林, 邹益胜， 黄治光， 张继冬， 张笑璐， 王 超

(1 西南交通大学 机械工程学院先进设计与制造研究所， 成都 610000；2 中车青岛四方机车车辆股份有限公司， 山东青岛 266000)

轴承作为高速列车走行部的关键零部件之一，其工作状态直接影响着高速列车的运营安全[1]。轴承在正常状态下有着一定的温度波动范围，而在故障状态下，轴承的内部振动增大、摩擦增大会使得其产生的热量增加，导致轴承温度高于正常轴承的温度波动范围，因此温度可以作为判定轴承是否异常的指标。目前高速列车采用车载轴温监测预警系统对轴承状态进行监控，通常分为暖轴预警及热轴报警两个等级，均由设定的温度阈值及流程逻辑进行控制[2]。当系统监测到轴承温度出现异常，超过设定的温度阈值便会进行报警，而轴承发生故障到切轴可能只需要短短几分钟，所以一旦报警发生，列车必需进行限速或者停车处理，因此如果能够提前准确地预测轴温的发展趋势，结合现有的轴温监测预警系统便可提前发现轴温异常，争取更多的时间来处理故障，对列车安全运行有着重要意义。

灰色系统理论是邓聚龙教授[3]在1982年提出来的，用来解决小样本、贫信息问题，具有原始数据要求少、建模过程简单、计算方便、精度可检验等优点。时间序列预测中最常见的灰色模型是GM(1,1)模型，被广泛地应用于各个领域。杨杰[4]利用平滑处理及等维信息处理方法与灰色模型相结合，使模型能逐步调整模型的单调性，并应用于燃气供应量预测。曹寅冬[5]利用基于固定数值的新陈代谢GM(1,1)模型对高速列车轴承相对温升进行单步预测。但GM(1,1)预测模型也存在着一定的局限性，其模型微分方程离散化过程中的建模机理存在着缺陷，导致模型存在不可避免的系统误差，主要包括初始值选取和背景值优化造成的误差[6]。因此针对GM(1，1)模型的改进研究也在不断的进行。Li-Chang Hsu[7]使用遗传算法对背景值进行优化并建立了ITGM(1,1)模型。Li K等[8]使用粒子群算法对GM(1,1)模型的初始值和背景值进行了优化并对进行了单步预测。Peng[9]利用人工蜂群对GM(1,1)的背景值进行了优化，并应用于电力系统的预测管理。然而，这些改进的模型本质上仍属于指数模型，这种固定的模型结构限制了对波动数据的适应能力。

在一个区间中运行的高速列车，宏观上分为3个阶段：即启动段、恒速段和制动段，轴承温度的变化趋势与这3个阶段基本匹配。在启动段，轴温逐渐上升；在恒速段，轴温呈上升或稳定特征；在制动段，轴温开始下降。从统计数据来看，轴温上升段和轴温下降段的温度变化呈现比较明显的单调特性，满足GM(1,1)对建模数据单调性的要求。但实际上由于高速列车运行过程中的速度和环境是动态变化的，因此轴温的变化并非具有严格的单调性，特别是在上升和下降趋势发生转变的拐点处附近，这将导致GM(1,1)预测结果存在较大的误差。

所以针对GM(1,1)建模机理的缺陷，以及GM(1,1)对呈现较大波动的轴温数据序列预测结果不太理想的问题。在GM(1,1)预测模型的基础上，对原始GM(1,1)进行修正，提出了一种粒子群算法优化的灰色预测模型。首先利用一次多项式GM(1,1)模型进行修正，重构灰色模型的时间响应函数来增强模型的适应能力，再利用粒子群算法对重构模型参数进行求解，同时也避免传统GM(1，1)的初始值选取和背景值优化问题，最后将此方法应用于高速列车轴温预测。

1 基于PSO的轴温灰色预测模型

1.1 灰色预测GM(1,1)模型

原始的GM(1,1)模型预测原理如下：

(1)假设原始序列X(0)={x(0)(k)}，(k=1…n)，一阶累加序列为X(1)={x(1)(k)}，其中：

(1)

(2)利用X(1)构造背景值序列Z(1)={z(1)(k)}，

其中

z(1)(k)=λx(1)(k-1)+(1-λ)x(1)(k)，k=1…n

(2)

(3)λ∈[0，1]，为了方便计算一般取为0.5。

(4)假定X(1)具有近似指数变化规律，则GM(1,1)模型的白化方程为：

(3)

将式(3)离散化可将GM(1,1)表达为：

x(0)(k)+az(1)(k)=b

(4)

那么：

(5)

于是GM(1,1)模型的解为：

(6)

当k=1，…，n时为模型的拟合值，当k>n时为模型的预测值。将累加序列还原即可得到预测序列：

(7)

1.2 粒子群优化的灰色预测模型

从灰色模型的建模原理可以看出x(0)(1)只是人为选定的求解初值，而模型参数a,b的最小二乘解并不依赖x(0)(1)，即x(0)(1)不一定是灰色模型的拟合值，而λ=0.5也并非GM(1,1)最优解，这是灰色模型建模机理方面存在的缺陷。同时，由式(7)可以看出，灰色模型实质是最小二乘意义下指数模型的曲线拟合，所以其对建模数据有一定的单调性要求。

因此考虑到模型的初始值选取造成的误差，将灰色模型修正为：

(8)

累计值还原可得：

(9)

为了增加模型对波动数据的适应能力，利用一次多项式代替初值误差项，改进的模型为：

(10)

直接利用粒子群算法对改进后的拟合模型：

(11)

以最小均方误差作为目标函数进行参数求解。这样不仅能继续保证模型的最小二乘意义，还可以避免传统灰色模型对背景值的优化。利用粒子群算法求解参数包括c1,c2,c3,c4。

整个算法流程如下：

(1)确定粒子个数N，并初始化每个粒子的位置

pi=[pi1…pin]和速度vi=[vi1…vin]，可将原始灰色模型的解作为初始值进行优化；

(2)根据式(10)计算每个粒子对应的预测结果

(3)计算每个粒子对应的拟合误差Fi；

(12)

(4)当Fi小于其个体最小误差时，则用pi替换pbi；当Fi小于总体最小误差时，则用pi替换gb；

(5)依据式(13)更新粒子的速度和位置；

vi=wvi+c1r1(gb-pi)+c2r2(pbi-pi)

(13)

其中：w为惯性常数，一般取0.5。

c1，c2为加速常数，一般取1.4。

r1，r2为random(0，1)函数。

(6)重复(2)至(6)直到满足误差条件或者达到最大迭代次数；

(7)将得到的gb即修正模型的可行解带入式(11)中即可得到模型的预测值。

1.3 粒子群优化的轴温灰色预测模型

为了实现轴承温度实时动态预测，采用滑动窗口的思想来更新当前时刻预测模型的建模数据，窗口大小和预测模型建模数相等。每当新一时刻的轴温数据来临时，将其增添到窗口序列前端，并舍弃尾部数据，然后利用更新后窗口内的数据作为当前时刻模型的建模数据，然后对轴温的变化趋势进行预测，保证建模数不变的同时，及时更新最新的趋势信息。

整个模型的输入是当前时刻采集到的轴温数据及其历史领域轴温数据构成的窗口序列，输出是未来一定时间步长的预测温度，实时预测时需要根据在线监测数据不断更新输入的窗口温度序列。在模型运行前需要确定建模数(窗口长度)、预测步长以及PSO的粒子个数、惯性常数等参数。具体流程如图1所示：

(1)数据预处理。对传输过程中缺失数据进行插值，插值方式为前向插值，用前一时刻数据代替当前时刻的缺失数据;

(2)更新建模数据。获取当前时刻轴温数据，更新用于建模的窗口数据序列。考虑到传感器精度以及插值引起的误差，对建模数据进行滑动平均处理;

(3)构建模型。根据选取的建模数据，按照本文提出的方法构建轴温预测模型;

(4)更新预测结果。根据事先设定的预测步长，利用构建好的预测模型进行预测，更新预测结果。

图1 PSO优化的灰色轴温预测流程图

2 模型验证

以高速列车实际履历轴温数据为例，对提出的基于PSO的轴温灰色预测模型进行验证。数据来源为运行在西安到西宁线路上的某型高速列车车载轴温监测系统所采集的轴承温度数据。该系统所用温度传感器型号为PT100，其采样频率为1/60 Hz～1/20 Hz，采样精度为1 ℃，安放位置在轴承座盲孔内接近轴承外圈位置，取其中某节车轴箱轴承连续几个启停段的波动温度数据作为测试数据，运行时长为80 min。考虑到实际运用中，车载轴温监测系统每间隔1 min才会进行一次数据传输，故对测试轴温数据进行重采样，重采样后的频率为1/60 Hz，即每分钟1个数据点。

不恰当的建模数对预测精度有着直接影响，经过试验，文中采用的建模数为7个点。考虑到模型的计算效率，PSO的粒子数取30，最大迭代数取50。惯性常数w取0.5，加速常数c1,c2取1.4。

从测试数据中截取单调上升、单调下降和非单调波动3种不同变化趋势的数据段用于测试模型的拟合能力，每段的长度与建模数相等。图 2是GM(1,1)预测模型和改进后预测模型对长度为7个点(7 min)的不同变化趋势的轴温数据拟合情况。从图中可以明显观察到：由于建模机理的缺陷及模型本身拟合能力的限制，GM(1，1)模型只适用于具有一定单调性的数据，对波动数据的拟合存在较大的误差。而改进后的灰色模型对波动数据的拟合误差远小于灰色GM(1,1)预测模型，拟合能力明显更强。

图2 不同趋势轴温数据拟合结果

以80 min连续波动温度数据来验证改进模型的预测能力。分别使用GM(1,1)模型和本文改进后的轴温预测模型进行1～10 min轴温预测。

为了全面的、平均的、典型的反映预测模型的预测精度，综合采用平均绝对误差(EMA)、平均相对误差(EMAR)、最大绝对误差(EMAXA)以及误差方差(EVAR)对预测模型进行评价，其定义如下：

(14)

(15)

(16)

(17)

预测结果误差统计结果如图3～图6所示，其中5 min预测结果如图 7所示。

图3 改进前后平均绝对误差

图4 改进前后平均相对误差

图5 改进前后最大绝对误差

图6 改进前后误差方差

图7 改进前后5 min预测结果

从预测结果误差统计的4个指标来看，改进后的轴温预测模型对波动数据的预测精度明显优于GM(1,1)模型，预测结果更加的理想。进一步分析可以发现：

(1)改进后1～10 min预测结果的平均绝对误差和平均相对误差均有着明显的降低。以5 min预测结果为例，平均绝对误差由6 ℃降低到5 ℃，降低了16.7%；平均相对误差由9.1%降到了7.8%，降低了14.3%；

(2)改进后1～10 min预测结果的最大绝对误差在短步长预测时，也有着一定的改善。以5 min为例，最大绝对误差由20℃降低到18.6℃，降低了7%。但随着预测步长的增大，改进模型的最大绝对误差逐渐逼近GM(1,1)模型，在10 min时两者的最大绝对误差相同。

(3)改进后模型的误差方差明显低于改进前的误差方差，以5 min为例，误差方差由24.6降低到了20.6。这表明改进后模型预测误差分布范围更小，预测效果更佳理想。

(4)从5 min预测结果可以发现，当在温度上升和下降阶段，数据呈现一定单调性时，改进后的模型预测结果略优于GM(1,1)预测模型。但在数据的拐点处，特别是25 min左右的温升拐点时，改进模型预测效果明显优于GM(1,1)模型。

3 结 论

在GM(1,1)预测模型的基础上，利用一次多项式对其进行了修正，重构灰色模型的时间响应序列，再利用PSO对重构模型进行求解，并据此构建了一种高速列车轴温预测模型。再以高速列车实际履历轴温数据对模型进行验证，通过对比分析改进前后两种模型对不同趋势轴温数据拟合结果，以及不同预测步长下的预测结果，得出如下结论：

(1)改进后的模型通过一次多项式进行修正，利用PSO求解参数，不仅避免了传统GM(1，1)预测模型的背景值优化，还克服了边值缺陷问题，增强了对波动数据的拟合能力；

(2)基于PSO的轴温灰色预测模型相较于GM(1，1)预测模型预测误差有着明显的改善。其中5 min预测平均绝对误差降低了16.7%，平均相对误差降低了14.8%，最大绝对误差降低了7%，误差分布范围也更加集中。并且上升阶段拐点处的预测误差明显降低。