利用导数研究函数性质的有关探讨

孙秦越

一、引言

以含参数的函数为主，通过对其导数的研究来解析该函数，可以十分方便地了解函数性质，一般来说有三种考查方式：（1）讨论函数的单调性;（2）求该函数的极值或最值;（3）利用函数的单调性、极值、最值求参数的范围。

本文就对通过利用导数求解函数中的参数作有关探讨。

二、用分离参数法求函数的范围

例题;已知函数

（1）求函数f（x）的单调区间

（2）若，不等式f（x）>-1恒成立，求实数a的取值范围

解：（1）由题可得，

当时，恒成立

∴在上单调递增;

当a>-时，令=0∴

∴f（x）在上单调递增。

f（x）在上单调递减。

综上所述：当时，f（x）的单调递增区间为，无单调递减区间;当a>-时，f（x）的单调递增区间为;f（x）的单调递减区间为。

（2）∵f（x）>-1>-1即2a>x2-ex在上恒成立

令g（x）=x2-ex∴（x）=2x-ex

令h（x）=（x）∴h'（x）=2-ex

当时，h'（x）=2-ex<0恒成立

∴h'（x）在上单调递减

∴h（x）=2x-ex<2-e<0∴g'（x）<0

∴g（x）=x2-ex≤g（1）=1-e

∴2a>g（x）max=1-e

∴

综上所诉，使用分离参数法求参数的范围分为完全分离和部分分离，在函数较为复杂的情况下，使用部分分离法可以将原函数化为两个较为简单的函数，方便解答，并且可以将问题转化为最值问题，思路明了。

三、整体法求解参数的范围

例题：已知函数f（x）=ex-1-x-ax2

（1）当a=0时，求证f（x）≥0

（2）当x≥0时，若不等式f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围

（1）证明：当a=0时f（x）=ex-1-x f'（x）=ex-1

令h'（x）=0，∴x=0

∴f（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增

∴f（x）min=f（0）=0∴f（x）≥0

（2）解： f'（x）=ex-1-2ax，令g（x）=ex-1-2ax，则g（x）=ex-2a.

当2a≤1时g'（x）≥0恒成立

∴g（x）在（-∞，+∞）上单调递增

g（x）≥g（0）即f（x）≥f（0）

∴f（x）在（0，+∞）上单调递增

∴f（x）min=f（0）=0∴时满足题意

当2a>1时，令g'（x）=0，∴x=ln（2a）

g（x）在[0，ln（2a））上单调递减

∴x∈（0，ln2a）时，有g（x）<g（0）=0

∴f'（x）

∴f（x）在[0，ln（2a））上单调递减，在（ln（2a），+∞）上單调递增

∵f（0）=0

∴不满足题意，舍去

综上所述，实数a的取值范围为

使用整体法求解参数的范围时，一定要注意，构造的函数是否简便，求导之后能否较容易地发现函数的单调性。但是，使用该方法需要注意是否需要分类讨论，讨论的顺序是先易后难，注意将近所有情况讨论完。

4.总结

在求参数的范围时，若遇到f（x）>f（x）的情况，可以用整体法，将原式化为h（x）=f（x）-g（x）的形式，根据函数的单调性或者函数的最值求解函数中的参数的取值范围。若试式易于分离参数，可先分离参数，构造新函数，直接转化为函数的最值问题，避免参数的讨论。

一般来说，用分离参数法比整体法更加简单，所以我们可以先尝试用分离参数法解析，但最终用哪种方法，还需根据实际情况判断。