重数为5的数字半群的不可约性研究

凌燕 孙广人

摘  要：本文研究了重数为5的数字半群的不可约性。通过计算数字半群的亏格和Frobenius数，刻画了重数为5的数字半群的特点，分析了重数为5的不可约数字半群和5-不可约数字半群之间的关系，进而确定了哪些重数为5的不可约数字半群也是5-不可约数字半群。最后对重数为5的数字半群，通过分类列表整理的形式，分别列出嵌入维数为3、4和5的数字半群，对其不可约性和5-不可约性的关系进行了初步研究。

关键词：数字半群;不可约;Frobenius数;亏格

中图分类号：O152.7      文献标识码：A 文章编号：2096-4706（2019）14-0013-05

Irreducible Numerical Semigroup with Multiplicity 5

LING Yan，SUN Guangren

（School of Mathematics and Computational Sciences，Anqing Normal University，Anqing  246133，China）

Abstract：In this paper，we study the irreducibility of digital semigroups with multiplicity 5. And completely describes the characteristics of the numerical semigroup with the multiplicity and analyzed the relationship between the irreducible numerical semigroup with the multiplicity of 5 and the 5- irreducible numerical semigroup by calculating the genus of the numerical semigroup and the Frobenius number. Furthermore，it is determined which irreducible numerical semigroups with multiplicity 5 are also irreducible numerical semigroups with multiplicity 5-. Finally，we list the numerical semigroups with embedding dimensions of 3，4 and 5 separately by the classification list for the numerical semigroup with a multiplicity of 5，and then the relationship between the 5 irreducibility and the 5-reducibility is studied.

Keywords：numerical semigroups;irreducible;Frobenius number;genus

0  引  言

數字半群是幺半群的重要分支，它是在研究线性Diophan-tine方程的非负整数解的时候出现的，且与单项式定义的曲线密切相关[1]。在最初的时候，数字半群研究的大多数问题都仅与初等数论有关，但在上个世纪后半叶，由于它在代数几何学中的应用被发现，使得它吸引了许多代数与几何领域的研究者。此外，关于数字半群理论的更多内容可以在Rosales和García-Sánchez的专著中找到[2]。在研究数字半群的理论中，数字半群的不可约性一直是研究的热点，它在很多文献中都得到了广泛的研究[3-8]。在对不可约数字半群的研究中，Blanco和Rosales在他们的文献中拓展了不可约性的概念，引出了m-不可约数字半群[9]。该文献还刻画了m-不可约数字半群的特殊间隙、亏格及Frobenius数。在文献[10]中，作者根据Frobenius数、亏格等主要量刻画了3-不可约、4-不可约数字半群的特征。本文则是在文献[10]的基础上，探究出重数为5的不可约数字半群和5-不可约数字半群的关系，从而找出哪些重数为5的不可约数字半群也是5-不可约数字半群。

1  3-不可约数字半群和4-不可约数字半群

设q是有理数，我们用[q]=min{z∈Z：q≤z}表示不小于q的最小整数。显然，若S是数字半群，则g（S）≥

对于数字半群S，若S满足条件S=〈A〉，则称A是S的生成元系，集合A中的元素称为S的生成元;若A的任意真子集都不能生成S，则称A是S的极小生成元系。每个数字半群S都有唯一的极小生成元系，且极小生成元系中元素的个数是有限的。

定义3：令{n1

定义4：令S是一个数字半群，不属于数字半群S的最大整数称为该半群的Frobenius数，用F（S）表示，N＼S的元素的个数叫作数字半群的亏格，用g（S）表示。

定义5：S是一个数字半群，若S不能表示为真包含它的两个数字半群的交集，则称S为不可约数字半群。

定义6：S是一个重数为m的数字半群，若S不能表示为真包含它的且重数为m的两个数字半群的交集，则称S为m-不可约数字半群。

定义7：S是一个数字半群，n≠0，则Ap（S，n）={s∈S|s-n∉S}。

命题1[2]：S是一个数字半群，e（S）为S的嵌入维数，m（S）为S的重数，则e（S）≤m（S）。

命题2[11]：S是m-不可约数字半群，则以下条件等价：

（1）S={x∈N：x≥m}∪{0}。

（2）S={x∈N：x≥m，x≠F（S）}∪{0}。

（3）S是不可约数字半群。

命题3[11]：S是不可约数字半群的充要条件是g（S）=  。

引理1[11]：若S是一个m-不可约数字半群，则：

引理2[11]：若S是一个重数为m-不可约数字半群，则S是m-不可约数字半群的充要条件为g（S）=m-1，m，  。

引理3[12]：任意一个3-不可约数字半群是不可约的。

引理4[12]：除{0，4，→}外，任意一个4-不可约数字半群是不可约的（→表示4以后的所有自然数）。

推论1[11]：S是不可约数字半群：

（1）若F（S）为奇数，则S是对称数字半群。

（2）若F（S）为偶数，则S是伪对称数字半群。

推论2[11]：S是m-不可约数字半群：

（1）若F（S）为奇数，则S是m-对称数字半群。

（2）若F（S）为偶数，则S是m-伪对称数字半群。

推论3：S是数字半群，e（S）=2，则S是对称数字半群。

2  5-不可约数字半群

推论4：若S是数字半群，e（S）=2，m（S）=5，则S一定是对称数字半群。

证明：由于e（S）=2，m（S）=5，所以存在不被5整除的正整數b，使得S=〈5，b〉，则F（S）=5b-5-b=4b-5，故F（S）一定为奇数，所以S是对称数字半群。

S是数字半群，若对任意的s∈S，有x∉S且x+s∈S，我们把这样的整数x叫作S的伪Frobenius数，通常用PF（S）表示数字半群S的伪Frobenius数的集合，它的基数我们叫作数字半群S的型，用t（S）表示。由定义显然可以知道t（S）∈PF（S），其是PF（S）集合中最大的一个数。

例1：S是由〈5，b〉生成的数字半群，则Ap（S，5）={0，b，2b，3b，4b}，可以得出PF（S）={4b-5}，因此t（S）=1。如S=〈5，9〉，Ap（S，5）={0，9，18，27，36}，PF（S）=36。

引理4：当e（S）=2时，任意一个5-不可约数字半群一定是不可约的。

证明：由推论3可知，嵌入维数为2的数字半群一定是对称数字半群，且不可约数字半群分为对称数字半群和伪对称数字半群，所以当e（S）=2时，任意一个5-不可约数字半群一定是不可约的。

引理5：当e（S）=3时，任意一个5-不可约数字半群一定是不可约的。

证明：令S是5-不可约数字半群，{5