现实数学教育理念在中国课堂教学中的本土化

吴加奇　张春莉

摘 要：社会的迅速发展对数学教育提出了更高的要求，现实数学教育将数学与生活紧密联系起来的理念为数学教育指明了一个新的方向。但是教师对如何在课堂上运用这些理念真正让学生体会数学与生活的连接，建构自己的数学系统，还存在疑惑。借鉴荷兰数学教育改革的成功经验，结合现实数学教育的内涵与策略，中国数学课堂应关注学生作品、利用学生经验、借助具体模型来落实现实数学教育理念，帮助学生迎接未来的挑战。

关键词：现实数学;逐步数学化;教学现象学;模型化

中图分类号：G427文献标识码：A文章编号：2095-5995（2019）04-0041-04

在信息化、自动化、数字化的影响下，各种智能计算器能够代替学生做所有运算时，有一种声音出现了，数学的主要功能——运算对学生来说已经没有那么重要。[1]那么，在这样的背景下教师应该教什么样的数学？以什么样的方式来教学？哈佛大学的沃夫曼（Wolfram）教授也提出了类似的疑问，同时他指出数学在生活中有着广泛的应用，但这些应用对大众而言都是无形的，所以新的趋势下的数学教育应与现实结合起来，从根源上解决数学与生活的疏离印象。[2]现实数学教育（Realistic Mathematics Education，RME）是在荷兰发展起来的数学领域的特定教学理论，是关注了现实在数学中地位的数学教育模型。荷兰学生的数学成就在世界各国中名列前茅，这要归功于现实数学教育。荷兰数学现实教育提倡改变传统的以教师为主的机械性教学，转为以学生为主体的主动建构式教学。本文希望探寻现实数学教育的内涵和意义、原则和策略，探索现实数学教育如何帮助教师利用现实数学的观念设计符合学生经验的数学课堂，让学生实现数学的再创造，为中国的数学课堂教学带来一些启示。

一、现实数学教育的背景与内涵

现实数学教育是由弗赖登塔尔（Freudenthal）数学教育研究所研究提出的一套理论方法。其兴起的时间是20世纪60年代，当时荷兰的数学教育以机械式的教学方法为主，作为这种机械方法的替代者，美国的新数学运动席卷了荷兰。为了对抗美国新数学潮流所带来的不适，发展根植于荷兰本土的数学教育改革，现实数学教育被正式提出。[3]它是结合范希尔（Van Heile）的数学学习层级、弗赖登塔尔（Freudenthal）的教学现象学（didactical phenomenology）及特雷弗（Tereffers）的数学化综合而来的。[4]弗赖登塔尔把数学看作人类活动的观点，构成了现实数学教育的思想基础。[5]他认为数学必须与现实相联系，要接近学生的经历，要与社会生活相关，而且要体现出人类的价值。数学不是一个闭合的系统，而是一个数学化的活动。[6]这就体现了现实数学教育的核心：现实与数学化。

现实意味着获得数学知识的经历是现实的，每个人都要在真实的过程中逐渐积累数学知识。学生通过已熟悉的生活学习数学，使数学学习与生活密切相关，学习内容也与现实生活密切联系。在学习过程中，丰富的、现实的情境被赋予了突出的地位。弗赖登塔尔有一句名言：与其说是学习数学，还不如说是学习“数学化”;与其说是学习公理体系，还不如说是学习“公理化”;与其说是学习形式体系，还不如说是学习“形式化”。他认为，人们运用数学的方法观察现实世界，分析研究各种具体的现象，并加以整理组织，这个过程就是数学化。一般来说，数学化是一种由现实问题到数学问题，由具体到抽象的认知活动，是人類发现活动在数学领域里的具体表现。数学化分为横向数学化和纵向数学化。[7]这两种数学化是紧密连接在一起的，横向数学化完成将生活问题转化为数学问题，纵向数学化继续将数学问题与数学系统联系在一起，深入数学探索。

二、荷兰现实数学教学策略

现实数学教育强调数学课堂教学的一个很重要的作用就是让学生建立起生活与数学的联系，让学生建构自己的数学现实。弗赖登塔尔认为学生应该有一个体验数学的过程，在这个过程中学生以原有的数学经验为起点，在教师的引导下制定出自己的一条学习路线，自己创造数学。为了给现实数学教育赋予更多的课堂操作性，弗赖登塔尔数学教育研究所学术领导人之一格雷迈杰尔（Gravemeijer）基于数学现实教育，提出了数学教学中的三种启发式教学法，分别是逐步数学化的再创造、教学的现象分析以及即时建模。[8]

（一）通过逐步数学化引导学生再创造

弗赖登塔尔认为数学是一种活动，而不是一个封闭的系统，学生学习数学是一个数学化的过程。学生在学习数学知识之前，每个人都有自己的数学现实，教师的一个很重要的任务就是了解学生的数学现实。这些数学现实可能是来自于现实生活的简单图形或是简单计算，但它们是重要的教学资源，是学生学习的起点，是学生构造自己学习轨迹的支撑材料。通过了解学生的数学现实，教师可以引导和帮助学生从自己的数学现实出发逐步创造出自己的知识体系，这就是通过逐步数学化而达到再创造。

（二）教学的现象分析

教学的现象分析是根据弗赖登塔尔的教学现象学提出来的，重点在于探讨情境作为学生学习起点的重要性。在这里教学现象指能够帮助学生计算、推理和数学化的情境以及一些概念和工具。[9]特殊的问题情境是学生数学化的基础，能够让学生体会到数学是来源于生活并且会应用于生活，这也是现实数学所强调的。如果教师将抽象数学内容直接教给学生，学生是很难接受的。所以，教师需要将数学教学内容融入学生熟悉的情境，让学生在情境中逐渐体会和学习数学知识。

（三）模型化

模型化是指有效地使学生的数学思维从情境层次向更高层次发展的一种教学行为。[10]数学模型既有具体的模型，又有抽象的模型。人们学习数学模型，就是要从现实中获得一个具体的模型，通过对这个具体模型的认识而得到抽象的数学模型，又进一步把数学模型具体化为现实的模型。[11]长期以来，建模一直是国际上所提倡的数学技能，然而在日常的学校教育实践中，学生的数学建模能力一直没有得到很好的培养。数学教育的建模研究倾向于关注建模在学生学习某些数学概念方面的作用。[12]然而，生活中人们建立模型的动机是为了解决一个实际问题，而不是为了学习数学概念。所以，教师引导学生通过实际情境建模才能够更好地培养学生应用数学的能力。现实数学教育中的模型化是垂直数学化的过程，模型起到了沟通不同理解层次的作用。学生需要知道模型的内在关系，而不只是收获一两个解决特殊问题的公式。学生需要掌握的模型是一般化的。现实数学教育中的模型都是源自具体的问题情境，这样解决数学问题就有了实际意义。学生解决同类问题越有经验，这个模型也就掌握得越发牢固。

三、中国现实数学教学策略

荷兰的现实数学教学策略也为我们带来一些启示：数学教育目标由“双基”向“四基”转变，数学教育越来越关注现实生活与数学的联系，将数学定位为能够帮助学生更好地生活的一门学科。

（一）关注学生作品，让学生通过数学化实现再创造

在教学中，教师的目标都是帮助学生数学化，但是在教学过程中很多教师忽略了逐步实现这个的过程。一些教师常常急于让学生掌握最简洁的成果，而忽略了学生建立思维的过程。数学化的结果固然重要，但逐步建立的过程必不可少，否则学生只是按照教师的思路在学习，而没有自己进行数学化，更没有可能自己进行再创造。下面通过“11-20各数的认识”一课的教学实例来说明教师如何引导学生逐步数学化。

在“11-20各数的认识”一课的教学中，教师提出了这样的问题：“通过小棒摆一摆，怎样能够一眼看出是12根小棒呢？”学生呈现了如图1的作品：

显然这些学生作品的呈现层次就隐含着逐步数学化的过程。教师接着问学生：“你觉得哪种摆法可以一眼看出是12根？”在教师的引导下，学生很快发现，前三个作品都不能一眼看出来，而是要通过计算，而第四个作品可以一眼看出是12根。大多数时候教学在这里就停止了，像是完成了数学化的过程，而我们听到一位教师有不同的处理办法。就在大多数学生都认可第四个作品时，教师开始引导学生提出疑问。有学生提出了质疑，10个摆一堆才能一眼看出来，怎么保证那一堆就是10个呢？其实这堂课这位学生的质疑才是点睛之笔。这一堆为什么是10个呢，学生按群认数最多能认识5个或者6个，10个一堆不容易按群认出来。可是十个十个数显然更方便，怎样解决这个问题呢？这时教师拿出了一根橡皮筋，这是学生之前学习“1-10的认识”时见过的，启发学生想到约定10根小棒捆成一捆，能够看到用橡皮筋捆成一捆就想到10。到这里十进制的概念才真正转化为学生自己的经验，实现了数学的再创造。

在课堂教学中，教师一定要关注各个层次的学生作品来呈现学生的学习过程，呈现出数学化的路径，让学生看到逐步数学化的过程，不能省略其中的關键步骤。利用教师呈现的数学化的过程，学生能够在学习过程中了解知识形成与发展的过程，更好地将数学知识与自己的原有经验结合起来，从逐步数学化的程序中反思自己的思考步骤，学会数学化的方法，建构自己的知识结构。

（二）利用学生经验，从情境推动学生思维的发展

教学的起点是学生的经验，教师将数学知识与学生熟悉的经验结合在一起能够更好地帮助学生理解数学概念，下面通过“集合”一课的教学案例来说明。

集合的学习对于小学生来说有一定难度，集合这个概念比较抽象，当两个集合有交集的时候，原先直接把两部分加起来求总数的经验已不再适用。教师在教学中需要巧妙地利用学生的经验来帮助学生理解集合的概念。首先，教师给出了一幅图，图中有苹果、菠菜、梨、土豆，让学生把相同类别的物品圈在一起，来感受相同类别的物品可以组成一个集合。接着教师提出了这样的情境性问题：“咱们班的同学前段时间参加了语文和数学的竞赛，4位同学获得了语文优胜奖，5位同学获得了数学优胜奖，但获奖人数却只有8位，大家知道是怎么回事吗？”面对这个真实的情境问题，学生对结果十分好奇，“明明语文和数学一共有9张奖状，为什么只有8个人呢？”“4+5=8这个算式不成立啊，怎么回事？”这时有位同学说道：“XXX同学平时语文和数学都很好，会不会他既得了语文优胜奖，又得了数学优胜奖呢？”这位学生的提示帮助大家解开了迷思。于是教师选了几位学生在台上演示，让大家来观察。台上演示的学生让获得语文优胜奖的学生站在左边，获得数学优胜奖的站在右边，而把学生XXX放在了中间，他们认为这一位学生和两边的获得语文或者数学优胜奖的学生不一样。教师质疑道：“那XXX同学既不属于左边这个集合也不属于右边这个集合，那和台下没有获奖的同学有什么区别？”学生开始思考怎样表示出XXX同学既属于左边又属于右边。教师鼓励学生用集合圈把自己的思考表示出来。这个外显化的操作，让学生纷纷有了想法，学生纷纷画出了自己的集合圈。

画图后，学生理解到两个集合圈包含了三个部分，即只获得语文优胜奖的学生、只获得数学优胜奖的学生和两个奖都获得的学生。那么算式就应该是3+1+4=8，也有学生写出了4+5-1=8的算式，将重复计算的人数减去得到最后的答案。接着教师继续启发道：“图中是有8位同学获奖，那么奖状数目不变，获奖人数还有没有其他可能？”借助现实的经验以及直观的操作，学生把可能的情况考虑得非常全面，还创造性地画出了一个集合包含另一个集合的情况，如图2所示。可见，只有充分利用学生经验建立起的情境，才有可能帮助他们完成自己的再创造。

在教学中，教师选用适当的情境、概念来导入新的学习内容是十分必要的。而且同一个内容可能有很多原型可以联系起来，教师应对比不同的情境选用一种或几种适合学生的教学现象来帮助学生建立新的认识。这不但要求教师涉猎广泛，了解数学发展的历程，也要求教师能够联系不同的事物为学生提供丰富的情境帮助学生数学化。

（三）借助具体模型，帮助学生搭建通往正式数学的桥梁

在教学中，教师会遇到这样一个问题：同一个类型的问题，学生只会做教过的那一种，面对变式学生就像遇见新问题一样不知所措或错误百出，不能进行知识迁移。这是因为学生只掌握了一两个具体的模型，并没有将模型一般化让其适应其他类似的情况。下面以“植树问题”一课为例来阐述教师怎样搭建模型让学生掌握一般化的知识模型。

教师用植树节的情境引入这堂课，并提出问题：如果园林工人要在全长1000米的小路一边植树，每隔10米栽一棵（两端要栽），一共要栽多少棵树？学生给出了很多答案：

作品一 1000÷10=100（棵）

100+1=101（棵）

作品二 1000÷10=100（棵）

100+2=102（棵）

作品三 1000÷10=100（棵）

100×2=200（棵）

此时学生只是利用已有经验列式，对结果的含义并没有深入地思考，出现了多样性的答案。这时，教师并没有急于给出评判，而是继续给学生充分的时间，让学生利用学具摆一摆或在纸上画一画，把自己的想法用实物或者图画呈现出来。这时学具与画图就是教师提供给学生的具体模型，学生可以借助具体模型来描述数量之间的关系。有的学生用一根小棒代表一段路，一个磁扣代表一棵树;有的学生用了更抽象的线段图模型，用点代表树，用线段代表一段路。借助实物或线段图，学生探索并发现两端种树时点与段之间的对应关系，只要抓住这个对应关系，问题就迎刃而解了。紧接着教师又引导学生对一般化模型进行推广：如果我们把每棵树的位置看成“点”，树与树之间的距离看成“段”，生活中像棵数和段数这样有点、段关系的事物还有很多，你能举出相关的例子吗？由于点段之间的对应关系已经根植于学生头脑当中，所以学生可以用点或段去代表不同的东西。于是学生纷纷举例，如安装路灯、锯木头、上楼梯、在操场上插彩旗。这些问题虽然看似不再和植树相关，但是背后蕴含的原理却是一致的，学生不仅学会了解决植树问题，更是学会了解决这一类问题的模型。

我们可以看到教师的几次引导让学生经历了从具体情境到数学问题的横向数学化后，又有一个纵向数学化的过程。这个过程将具体的数学模型抽象为更一般的数学模型，让它的应用更广泛。所以在教学中教师要引导学生关注问题中的数学关系，帮助他们摆脱对情境中具体图像的依赖，建立数学模型，让数学作为一种模式的作用逐渐体现出来。

（吴加奇  张春莉，北京师范大学教育学部，北京 100875）

参考文献：

[1] Gravemeijer K， Stephan M， Julie C， et al. What Mathematics Education May Prepare Students for the Society of the Future？[J]. International Journal of Science & Mathematics Education， 2017（1）：105-123.

[2][10] 張楠.发展中的荷兰真实数学教育RME[J].数学通报，2006（2）：23-24.

[3][11] Wolfram C.Teaching. Kids Real Math with Computers[EB/OL]. http：//www.ted.com/talks/conrad wolfram teaching kids real math with computers， 2010-07.

[4] David C Webb，Henk van der Koojj，Monica R Geist. Design Research in the Netherlands： Introducing Logarithms Using Realistic Mathematics Education [J]. Journal of Mathematics Education at Teachers College， 2011（1）：47-53.

[5][9] [荷]弗赖登塔尔. 作为教育任务的数学[M]. 陈昌平，唐瑞芳，等，编译.上海：上海教育出版社，1995：146，111.

[6] Van den Heuvel-Panhuizen M. Mathematics Education in the Netherlands： A Guided Tour[J]. Freudenthal Institute CD-rom for ICME9， 2000（8）： 1-32.

[7] [荷]弗赖登塔尔.数学教育再探：在中国的讲学[M].刘意竹，等，译.上海：上海教育出版社，1999：110.

[8] Gravemeijer K. Local Instruction Theories as Means of Support for Teachers in Reform Mathematics Education[J]. Mathematical Thinking & Learning， 2004（2）：105-128.

[12] Gravemeijer K P， Lehrer R， Oers H J V. Symbolizing， Modeling and Tool Use in Mathematics Education[J]. Mathematics Education Library， 2010（1）：66.

[13] Freudenthal H. Why to Teach Mathematics so as to Be Useful[J]. Educational Studies in Mathematics， 1968（1-2）：3-8.

（责任编辑：夏豪杰）