B样条曲面构建算法设计与实现

李博 吴丽娟 韩松 焦兴强 吉登清

摘 要：本文重点介绍了B样条曲面的基本概念、性质和分类，主要研究B样条曲面的基本原理和构建算法的实现，通过对B样条基函数进行详细研究，引入两个参数后，能更加灵活地调整曲线。最后，基于OpenGL生成两片均匀B样条曲面，并给出了运行结果。

关键词：B样条曲线;B样条曲面;曲面构建

中图分类号：TP391.7 文献标识码：A 文章编号：1003-5168（2019）02-0014-03

Design and Implementation of B-spline Surface Construction Algorithm

LI Bo1 WU Lijuan1 HAN Song1 JIAO Xingqiang1 JI Dengqing2

（1.Shenyang Normal University，Shenyang Liaoning 110034;2.Wuyi University，Jiangmen Guangdong 529030）

Abstract： This paper focused on the basic concept， properties and classification of B-spline surface. It mainly studied the basic principle of B-spline surface and the realization of its construction algorithm. Through the detailed study of B-spline basis function， the curve could be adjusted more flexibly by introducing two parameters. Finally， two uniform B-spline surfaces were generated based on OpenGL， and the running results were given.

Keywords： B-spline curve;B-spline surface;surface construction

目前，人们的生产和生活越来越受到计算机图形学的影响，计算机图形学不断影响每一个使用计算机的人。计算机辅助几何设计（CAGD）是一种伴着船舶、汽车、飞机等现代制造工业而兴起的应用学科，其与计算机图形学有着密不可分的联系。计算机图形学中较常用的曲线曲面有插值曲线曲面、Bezier曲线曲面、B样条曲线曲面和非均匀有理样条曲线曲面等。B样条曲线曲面有着良好的局部性质，因此，在工程设计中得到了越来越广泛的应用[1-5]。

1 B样条曲线曲面

1.1 B样条曲线的优点

Bezier曲线具有诸多优越性，但也存在不足：①特征多边形顶点数决定了其阶次数，当[n]较大时，不仅计算量增大，稳定性降低，而且控制顶点对曲线的形状控制减弱;②不具有局部性，即修改一控制点对曲线产生全局性影响。

1972年，Gordon等用B样条基代替Bernstein基函数，从而改进上述缺点。首先，B样条曲线比Bezier曲线更贴近控制多边形，且更光滑，其基函数的多项式次数可根据需要给定。其次，B样条曲线能对曲线进行局部修改，由于B样条曲线是分段构成的，所以控制多边形的顶点对曲线的控制灵活而直观。修改某一控制点只会引起与该控制点相邻近的曲线形状发生变化，远处的曲线形状不受影响，这使得B样条广泛应用于交互式自由曲线曲面的设计[6-10]。

1.2 B样条曲线的定义

B样条曲线定义如下：

[P（t）=i=0nPiNi（t），tmin≤t≤tmax，2≤k≤n+1]          （1）

其中，[Pi]是控制多邊形的顶点集;[i]是大于0的整数，是B样条的序号;[k]表示B样条的幂次;[Pi]是B样条曲线的[n+1]个控制顶点的顶点集。将各个控制顶点顺序连线形成的折线图形称为控制多边形。[Ni，k（t）]是定义在节点矢量[T]上的[k]次B样条基函数，用[Ni，k（t）]表示第[i]个[k]次（[k+1]）阶B样条基函数，是由节点矢量的参数序列[T：t0≤t1≤...≤ti+k+1]所决定的[k-1]次分段多项式样条。参数[t]的取值构成一个非递减的参数序列[T]，被称为节点向量。任意一个控制点最多只能影响[k]段曲线的形状。

1.3 B样条曲面的定义

B样条曲面由B样条曲线拼接而成，是通过两个方向的控制顶点网格、两个节点矢量和单变量的B样条基函数的乘积来定义。一块[m×n]次张量积B样条曲面片，其方程为：

[Pu，v=i=0mj=0nPijNi，puNj，qv]            （2）

其中，节点矢量[u]中含有[m+1]个节点，节点矢量[v]中含有[n+1]个节点，此时就构成一张控制网格，称为B样条曲面的特征网格。[Ni，pu]和[Nj，qv]是节点向量[u]和[v]按de Boor-Cox递推公式决定的B样条混合函数。

1.4 B样条曲面的性质

①严格的凸包性。如果[Pt]位于控制顶点所建立的凸包内，曲线严格位于控制多边形的凸包内（见图1）。

②分段参数多项式。[Pt]在每个区间上都是次数不高于[k-1]次的多项式。

③可微性与连续性。[Pt]在每一曲线段内部是无限可微的，在定义域内重复度为[k]的节点处，则使[p-k]次可微或具有[p-k]阶参数连续性。

④几何不变性。B样条曲线的形状和位置与坐标系的选取无关。

⑤局部可调性。如果改变某个控制顶点的位置，只会影响那个顶点所对应的曲线段，对其他部分曲线没有影响;同理，如果想改变某一段曲线的形状，只需要改变对应的控制顶点，与其他顶点无关。

⑥近似性。在控制顶点不共线的情况下，当次数越高时，这组控制顶点所对应的B样条曲线越光滑。

1.5 曲面的分类

B样条曲面由一系列曲线拼接而成，在分类上同样按照节点矢量分为三类：均匀B样条曲面、准均匀B样条曲面和非均匀B样条曲面。

①均匀B样条曲面，节点矢量[u，v]满足条件：

[Δui=ui+1-ui=const>0，i=k，...，m+k]                  （1）

[Δvj=vj+1-vj=const>0，j=1，...，n+l]                 （2）

②准均匀B样条曲线，节点矢量[u，v]满足条件：

[u0=...=uk，um+1=...=um+k+1，Δui=ui+1-ui=const>0，i=k，...，m]         （3）

[v0=...=v1，vn+1=vn+j+1，Δvj=vj+1-vj=const>0，j=1，...，n]          （4）

③非均匀B样条曲面。对于这种类型的B样条曲面，只要节点矢量满足以下条件即可：节点序列非递减;两端节点的重数小于等于次数+1，内节点的重数小于等于次数。

2 B样条曲面的构建

2.1 算法设计

三次B样条曲面是由三次B样条曲线拓广而来，以两组正交的三次B样条曲线控制点构造空间网格来生成曲面。给定了36个控制点，通过给定的控制点生成一个6×6的网格，对B样条曲面基函数进行算法设计，分别从[u]向和[v]向进行赋值，让控制点与基函数相乘求和，从而生成对应的型值点，连接型值点，通过编程进行循环操作，进而生成B样条曲面。

2.2 算法实现

[k×l]阶B样条曲面[Pt，s]定义为：

[Pt，s=i=0nj=0mPijNi，ktNj，ts]                        [tk-1≤t≤tn+1，st-1≤s≤st+1]                         （5）

其中，[Pij0≤i≤n，0≤j≤m]为控制顶点，[Ni，kt]和[Nj，ts]分别为[k]阶和[l]阶B样条基函数。节点向量为[T1]和[T4]，[T4]：[0，0，...，0t，st，...，sm，1，...，1t]。

设在t方向上扩展曲面[P（t，s）]到[m+1]目标点[Pn+1，j，j=0，1，...m]。设[P（t，s）]中沿t方向的[m+1]条B样条曲线为：

[Pjt=i=0nPijNikt，j=0，1...，m]                 （6）

设与[Pjt]相应的第[j]条扩展曲线为[Qjt]，与[Qjt]相应[a]为[aj]，则与目标点[Pn+1j（j=0，1，...m）]相应的节点值为所有[a（j=0，1，...m）]的加权平均，即

[u=1+1m+1j=0maj]                          （7）

三次B樣条曲线的矩阵表达式：

[Pt=t3t2t1∙16∙-13-313-630-30301410∙P0P1P2P3=T∙MB∙MG]          （8）

其中，[MB]为三次B样条曲线的系数矩阵，[MG]为几何矩阵，为四个控制点的位置矢量。三次B样条曲面时由三次B样条曲线拓广而来，以两组正交的三次B样条曲线控制点构造空间网格来生成曲面。依次用线段连接点列[Pi，ji=0，1，2，3;j=0，1，2，3]中相邻两点所形成的空间网格称为控制网格。三次B样条曲面的定义为：

[Pu，v=i=03j=03pijNi，3uNj，3v]，[u，v∈0，1×0，1]       （9）

[Pu，v=N0，3（u）N1，3（u）N2，3（u）N3，3（u）∙P0，0P0，1P0，2P0，3P1，0P1，0P1，2P1，3P2，0P2，0P2，2P2，3P3，0P3，0P3，2P3，3∙N0，3（v）N1，3（v）N2，3（v）N3，3（v）]            （10）

其中，[N0，3u]，[N1，3u]，[N2，3u]，[N3，3u]，[N0，3v]，[N1，3v]，[N2，3v]，[N3，3v]是三次B样条基函数。

[N0，3u=16-u3+3u2-3u+1N1，3u=163u3-6u2+4N2，3u=16-3u3+3u2+3u+1N3，3u=16u3]，                    [N0，3v=16-v3+3v2-3v+1N1，3v=163v3-6v2+4N2，3v=16-3v3+3v2+3v+1N3，3v=16v3]               （11）

将式（10）代入式（11）得：

[Pu，v=136∙u3u2u1∙-13-313-630-30301410∙P0，0P0，1P0，2P0，3P1，0P1，1P1，2P1，3P2，0P2，1P2，2P2，3P3，0P3，1P3，2P3，3∙-13-313-604-33311000∙v3v2v1] （12）

三次B样条曲面的矩阵表示为

[Pu，v=U∙Mb∙P∙MTb∙VT]             （13）

其中：

[U=u3u2u1]                       （14）

[V=v3v2v1]                        （15）

[Mb=16∙-13-313-630-30301410]                     （16）

[P=P0，0P0，1P0，2P0，3P1，0P1，1P1，2P1，3P2，0P1，2P2，2P2，3P3，0P1，3P3，2P3，3]                  （17）

2.3 运行结果分析

三次B样条曲面是由三次B样条曲线交织而成。曲面生成时可以先固定[u]，变化[v]得到一簇三次B样条曲线;然后固定[v]，变化[u]得到另一簇三次B样条曲线。与三次B样条曲线相似，双三次B样条曲面一般情况下不通过控制网格的任何顶点。

3 结论

本文就B样条曲线、曲面的定义、性质、分类以及算法等相关知识进行了全面系统的介绍，基于B样条曲面方程，通过计算B样条曲线的节点矢量以及B样条基函数等，能够得到曲面上的任意一点并生成B样条曲面。

参考文献：

[1]郭怀天.B样条曲线及曲面研究[D].合肥：合肥工业大学，2012.

[2]吳学毅.计算机图形学原理与实践[M].北京：印刷工业出版社，2008.

[3]傅雅宁.计算机图形学教程[M].北京：国防工业出版社，2005.

[4]梁锡坤.B样条曲线曲面理论及其应用研究[D].合肥：合肥工业大学，2003.

[5]孙家广，胡事民.计算机图形学基础教程[M].北京：清华大学出版社，2005.

[6]孔正兴，周良，郑宏源.计算机图形学基础教程[M].北京：清华大学出版社，2003.

[7]王洪艳.B样条曲线曲面造型研究[D].哈尔滨：哈尔滨理工大学，2010.

[8]K. Waters. A Muscle Model for Animating Three Dimensional Facial Expression[J] .Computer Graphics（SIGGRAPH’87），1987（4）：17-24.

[9]杨晓静.B样条曲面构造方法的研究与实现[D].北京：北京工业大学，2003.

[10]何芳.移动曲面拟合法在复杂曲面造型中的研究与应用[D].武汉：武汉理工大学，2008.