“指数函数及其性质（第1课时）”教学设计与反思

于雷

一、教学内容及解析

本课内容为人教A版必修1第二章2.1.2节：指数函数及其性质.前面我们已经学习了函数及其表示、函数的基本性质以及实数指数幂及其运算性质等知识，本课我们主要学习指数函数的概念、图象和性质及初步应用.

本课内容需要3个课时：指数函数的图象及其性质、指数函数性质的应用（1）、指数函数性质的应用（2），本节课为第1课时.指数函数是高中新引进的第一个基本初等函数，从它的实际背景到指数函数概念的建立、图象的绘制，再到探究基本性质以及指数函数的初步应用，整个学习过程体现了研究函数的基本方法.指数函数是本章的重点内容之一，它不仅是学习对数函数的基础，而且在生活及生产实际中也有着广泛的应用.

学生在初步领悟函数的概念，知道了函数是对客观数量关系的抽象之后，再学习新的基本初等函数，从“函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型”这一观点出发，“感受运用函数概念建立指数函数模型的过程与方法”，通过研究指数函数加深对函数概念的理解，将教学聚焦于如下内容：

指数函数是刻画一类问题（指数增长、指数衰减）变化规律的模型——面对某一变化现象，选择适当的函数模型研究其变化规律.

指数函数是理解函数概念的一个载体——以一般函数的概念为指导，同时加深对函数概念的理解，因此，教师要让学生经历研究一个（类）函数的完整过程.

本节课强调三点：聚焦对应关系，体现概括过程，强调函数模型的思想.重点是指数函数的概念、图象及性质.

二、教学目标及解析

《普通高中数学课程标准（2017年版）》指出，基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数是最基本的、应用最广泛的函数，是进一步学习数学的基础.学习本单元，可以帮助学生学会用函数图象和代数运算的方法研究这些函数的性质;理解这些函数中蕴含的运算规律;运用这些函数建立模型，解决简单的实际问题，体会这些函数在解决实际问题中的作用.

《普通高中数学课程标准（2017年版）》规定，针对指数函数的教学要求：

1.通过对有理数指数幂a（a>0，且a≠1;m，n为整数，且n>0）、实数指数幂a（a>0，且a≠1，x∈R）含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质.

2.通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念.

3.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点.

分析上述要求，主要是让学生在理解指数函数概念的基础上，以具体实例为载体了解指数函数的对应关系，借助图象探索并了解指数函数的单调性等性质.因此，本课时的教学目标应定位为：

1.从实例引入，利用函数的一般概念，抽象归纳出指数函数的概念，培养学生的数学抽象、数学建模素养;

2.在探究指数函数性质的过程中，让学生经历通过画图象观察、归纳、分析、验证得出函数性质的过程，从特殊到一般，从具体到抽象，获得并掌握研究函数的一般规律和方法，培养学生的直观想象、数学抽象素养;

3.在探究指数函数的图象和性质的过程中，让学生体验从特殊到一般，再到特殊的认知过程，感悟数形结合、分类讨论的思想方法，培养逻辑推理素养.

三、分析学习者的特征

高一学生的认知基础：

1.初中函数的知识;

2.高中函数的概念及性质、研究过程与方法;

3.实数指数幂及其运算性质.

学生刚刚进入高中学习，他们在初中学习了函数是“一个量随着另一个量的变化而变化”，研究了正比例函數、反比例函数、一次函数、二次函数的图象及性质;在高中学会了用集合对应的语言刻画变化的过程.理解函数的概念，特别是理解对应关系的特征，对学生来说有一定的困难，用函数研究变化规律的方法还有待进一步学习，学生的认识不一定到位.

因此，本节课的难点是从实例中抽象出指数函数的概念，再借助图象概括指数函数的性质.

四、教学策略的选择与设计

基于以上分析，数学概念教学要符合学生的思维活动进程，遵循学生建构数学概念的阶段顺序：先创设一定的问题情境，引发学生思考背景和概念之间的关系，通过对这一关系的思考、抽象，理解概念的本质，再通过后续学习，建立起概念与其他知识之间的联系，进而形成综合的心理图式.因此，本节课教师首先提出细胞分裂这一问题，引导学生紧扣函数的概念，建立函数模型来刻画细胞数量的增长，然后再用洗衣污垢残留量递减的例子，说明函数是用来刻画事物运动变化规律的一种模型，从而点出本节课的课题.在此基础上，教师通过创设问题情境，设计问题串，类比研究一次函数、二次函数的方法，引导学生探究指数函数的概念、图象和性质.

五、教学重点及难点

教学重点：指数函数的概念和性质.

教学难点：用数形结合的方法从具体到一般探索、概括指数函数的性质.

六、教学的基本流程

七、教学过程

（一）创设情境，提出问题

师：同学们，前面我们学习了函数的概念、表示及性质，之后又复习了指数运算，引入了分数指数幂的概念，并且把指数的取值范围推广到了实数，这些都为我们今天学习新的内容做好了准备.首先，我们来看一个问题（教师投影问题1）

问题1？摇 某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个……一直分裂下去，你觉得这种细胞分裂有什么规律吗？

设计意图： 教师从实际的问题情境出发，帮助学生认识到事物运动变化的规律可以用函数模型来刻画，引导学生体验面对某一变化现象，选择适当的函数模型研究其变化规律.

教师组织学生思考，如何用数学式子来表示细胞分裂的规律，并采用个别提问的方式.

（二）建立模型，获得概念

问题2？摇 你能解释上述问题中变量间的关系为什么构成函数吗？

设计意图：以一般函数的概念为指导，加深对函数概念的理解，从而自然引出指数函数的概念.

教师引导学生回顾函数的定义，并就这一问题加以解释，进一步加深学生对函数概念的理解，同时，追问函数的定义域.

问题3？摇 用清水漂洗含1个质量单位污垢的衣服，若每次能洗去残留污垢的3/4，则漂洗x次后，衣服上的残留污垢y与x的函数关系是什么？

设计意图：有了问题1的讨论，再用函数的观点分析变量之间的对应关系，问题3可以帮助学生感知底数小于1大于0的情形，进一步加深他们对函数概念的理解，使他们明白函数模型是刻画事物运动变化规律的数学模型，为引出指数函数的概念做准备.

问题4  y=2（x∈R），y=（1/4）（x∈R）是函数吗？若是，其结构有何共同特征？

设计意图：将x的取值范围扩充到实数集，以一般函数的概念为指导，提炼出指数函数的模型y=a，实现概念同化.

【思考1】

（1）对任意实数x，2存在吗？1存在吗？0存在吗？（-2）存在吗？

（2）对任意实数x，a存在时，常数a的取值范围如何？

设计意图：将x的取值范围扩充到实数集，让学生思考a的取值范围，归纳概括其共同特征.

教师提出思考题，引导学生把y=a中x的取值范围和a的取值范围弄清楚.

指数函数的定义：一般地，函数y=a（a>0，且a≠1）叫做指数函数，其中，x是自变量，函数的定义域是R.

（三）概念辨析，概念应用

（教师投影思考1）

【思考2】下列函数哪些是指数函数？

①y=8  ②y=2;  ③y=2+1;  ④y=2.

设计意图：通过辨析，进一步加深学生对指数函数定义的理解，使他们认识到它是基本初等函数.

（四）小组合作，活动探究

师：我们知道了指数函数的定义及其解析式，那么函数的表示方法有三种：解析法，图象法和列表法.其中，哪种方法最能直观地反映函数的整体特征？

生：图象法.

师：我们研究函数，除了清楚它的表示方法以外，还需要研究它的性质，而研究的目的就是利用它解决其他问题.（引出问题5）

问题5？摇 探究指数函数的图象和性质.

设计意图：类比第一章学习和研究函数的方法，理清研究的思路和方法.

在前面的学习中，我们建立了函数的概念，探讨了函数的三种表示方法，接下来，我们研究了函数的基本性质，比如，单调性、最值、奇偶性，并且应用性质解决了简单的问题，所以，指数函数的研究方法也应如此.在函数的三种表示方法中，图象更能体现函数的整体特征，教师要引导学生掌握从特殊到一般的研究方法，从图象入手去研究性质，进而得出研究y=a的方法和思路.

活动1？摇 以同桌的两个人为一个小组进行合作，先讨论一下，选取你们认为合适的a值，在同一坐标系下画出这两个指数函数的图象.

（1）y=（   ）; （2）y=（   ）.

设计意图：让学生自主选择底数，经历画图象的过程.为了研究函数的性质，底数的选取需要具有代表性，如果由教师规定底数，会造成部分学生被动地认识图象，虽然自主选择底数会有些片面，但经过小组交流，学生能相互补充，相互验证.教师要教导学生在画图时如何取点，引导他们注意函数的定义域所起的作用.学生经过相互交流，能够较系统、全面地认识指数函数.

将同桌的两个同学作为一个小组，先让学生讨论底数的选择，然后，两人合作用描点法画出函数的图象.教师巡视，观察学生出现的错误、偏差.

活动2？摇 你画的指数函数的图象有哪些特征？

设计意图：引导学生根据图象归纳概括指数函数的性质.由于学生在画图过程中选点的片面性或者選择的底数取值比较片面，会使图象不完整或者不具代表性，导致概括的图象特征不全面，这个活动暴露了学生的思维过程，通过交流，学生会发现自己考虑问题不够全面，最后，教师再来纠错纠偏.

学生合作、讨论、交流，教师展示学生的答案，再利用几何画板演示指数函数的图象，然后将图象归纳为两种类型，再分别根据两类图象归纳指数函数的性质.

问题6 随着底数a的变化，指数函数的图象会呈现怎样的变化规律？

设计意图：教师利用信息技术，追踪函数图象的轨迹，引导学生观察图象，发现随着底数a的变化，指数函数的图象呈现怎样的变化规律.

（五）应用新知，巩固深化

如图，有四个指数函数的图象，请比较a，b，c，d的大小（按从小到大的顺序）.

设计意图：通过本例题，加深学生对指数函数图象的认识，并引导他们弄清底数对图象的影响.

（六）概括知识，总结方法

师：本节课我们学习了哪些知识？你还学会了哪些方法？我们是怎么研究指数函数的？（教师提出问题7）

问题7 ？摇通过本节课对指数函数的研究，我们获得了哪些知识和方法？

设计意图：对本节课的知识和方法进行归纳和概括.

教师让学生口头回答，并根据学生回答的情况进行评价和补充.

（七）运用拓展，提升能力

【思考3】

（1）函数y=2（x≤1）的值域为__________.

（2）函数y=2的值域为__________.

设计意图：对本节课的知识和方法进行归纳概括，通过这个思考题，学生感受到许多复杂的问题可以化归为简单的基本初等函数去解决，为下一节课做了铺垫.

（八）分层作业，巩固提升

1.完成教材P58练习2;P59习题2.1第5题.

2.拓展练习.

（1）指出下列函数哪些是指数函数，哪些不是，并说明理由.

（2）若函数y=a+m-1（a>0）的图象在第一、三、四象限内，则（ ）.

A.a>1且m>0      B.a>1且m<0

C.0<a<1且m>0  D.0<a<1且m<0

（3）在同一坐标系中作出下列函数的图象，讨论它们之间的联系.

①y=3;  ②y=3;   ③y=3;

④y=（1/2）; ⑤y=（1/2）;⑥y=（1/2）.

从图象中，你能得出什么规律？你能推广到一般情形吗？

（4）函数y=a（a>0，且a≠1）恒过定点_____________;

函数y=a （a>0，且a≠1）恒过定点_____________;

函数y=a+3 （a>0，且a≠1）恒过定点_____________.

（九）自我评价与反思

为落实党的十八大提出的教育“立德树人”的根本任务，教育部修订并颁布了《普通高中数学课程标准（2017年版）》，明确了高中阶段数学学科核心素养的内涵，基于学科核心素养提出了教学建议、评价建议，制定了学业质量标准.学生数学核心素养的形成和发展，是在教师的启发和引导下，学生通过独立思考或者与他人交流，最终“悟”出来的，是一种逐渐养成的思维习惯.因此，在教学活动中，把握数学内容的本质、精心设计合适的教学方案非常重要，探索基于核心素养的课堂教学就成为一线教师值得思考与实践的课题.回顾这节课的教学设计，有如下几点值得思考：

1.创设情境，让学生经历概括指数函数概念的过程

从教的角度看，概念教学的核心是引导学生开展概括活动：以典型的具体事例为载体，通过引导学生分析各事例的属性、抽象概括出它们共同的本质属性、归纳得出数学概念等，帮助他们获得概念.

在设计指数函数概念的形成过程时，教师要让学生经历概念的概括过程：教师从探索细胞分裂的规律引入教学，让学生用式子表示细胞分裂的规律，这就是建模.这样，学生遇到实际问题时，就会使用数学语言进行表达，从而有效地培养了学生的数学建模素养.

得出模型后，判断这个式子是函数吗？指数函数是基本初等函数，“指数函数”是“函数”的下位概念，教师要引导学生使用“概念同化”的方式学习，深刻理解“三要素”的具体内涵，其中，核心是“对应关系”，学生要学会用函数的定义去思考、去判断.数学思维的特点是用概念思维，且逻辑性强，在这一环节中，学生积累了用集合与对应的语言刻画函数的活动经验，对如何用“对应关系”描述变量之间的依赖关系也体会得越来越深刻，对函数本质的理解也逐步透彻，体验函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型.

为了帮助学生获得指数函数的概念，笔者再以漂洗衣服这个问题为例子，引导学生观察这两个例子得出函数模型，分析解析式的共同特征，形成概念，概括得出指数函数的定义.

接下去是概念的辨析和用概念进行判断，笔者设计了思考题，要求学生辨析给出的函数是否为指数函数.

从指数函数概念的形成过程来看，该教学设计主要体现了让学生经历概念的概括过程，基本环节为：

（1）背景引入;（2）具体例证的属性分析、比较、綜合;

（3）概括共同的本质特征得出概念的本质属性;

（4）下定义（用数学语言准确地描述）;

（5）概念的辨析——以实例（正例、反例）为载体分析关键词的含义;

（6）用概念做判断;（7）概念的精致——建立与相关概念的联系.

从学的角度看，概念的形成和概念的同化是两种基本的获得概念的方式.概念形成的实质是抽象出一类对象共同的本质属性的过程，其思维活动的核心是概括;概念同化就是学生利用已有认知结构中的相关知识理解新概念，理解的过程是新旧知识相互作用的过程，是将新知识纳入原有认知结构的过程，思维活动的核心仍是概括.指数函数概念的获得，既有概念的形成，又有概念的同化.

2.设计问题，让学生在探究中学会研究函数的一般方法和步骤

概念教学的两个关键是情境创设和问题引领.本节课的教学设计，以“问题串”的呈现为主，教师应认真思考每一个问题的设计意图，合理预设师生活动，以及需要概括的概念要点、思想方法，需要进行的技能训练，需要培养的能力及素养等.整个教学过程一共设计了7个问题，3个思考，2个活动，1个例题，包含了八个环节：

（1）创设情境，提出问题;（2）建立模型，获得概念;（3）概念辨析，概念应用;（4）小组合作，活动探究;（5）应用新知，巩固深化;（6）概括知识，总结方法;（7）运用拓展，提升能力;（8）分层作业，巩固提升.

在探究指数函数的性质时，教师应引导学生利用原有的知识，明确需要研究函数的哪些性质，怎么研究.在这个过程中，教师要教会学生先从图象入手，看图说性质，即从几个特殊的指数函数出发，画出图象，认真观察并归纳图象的性质;然后利用信息技术，演示底数变化时图象怎么变化，最后得出一般性质.

这一过程，一定要放手让学生去探究、去思考，画哪几个具体的指数函数，学生说了算.原来笔者的设计是让学生画出底数分别是2，3，1/2，1/3的指数函数，但是这样就限制了学生的思维，阻碍了学生在选择数据时需要进行的思考.之后笔者将其改为两人小组合作，讨论如何选取底数，并把两个图象画在同一坐标系下，为了探究指数函数的性质，选取的具体函数应具有代表性，学生通过讨论交流可以达成共识，即便他们画出的图象片面或者出错了，通过这一过程，学生学习了抓典型、找代表，从特殊到一般的研究方法，在探究中学会了研究函数的一般方法和步骤.因此，留给学生时间去画图，这是非常必要的.

3.课堂教学应注重培养和发展学生的数学学科核心素养

学生的数学核心素养不是与生俱来的，是在数学学习的过程中逐步形成和发展起来的.虽然光靠一节课难以实现核心素养的培养，但是教师是否关注学生学科核心素养的培养，是否关注学生思维的参与，让学生真正“动”起来，从这个角度说，一节课可以“以小见大”，笔者认为，指数函数的教学这样设计，那么对数函数、幂函数、三角函数这些基本初等函数也一样.整体看来，一节课一节课积累起来，学生的学科核心素养就可以逐步培养起来.

课堂教学应体现培养和发展学生的数学学科核心素养，本节课主要体现了数学抽象、直观想象、数学建模等数学核心素养的培养.函数是刻画事物运动变化规律的模型，整个指数函数概念的教学过程围绕建立函数模型，谁是自变量，对应关系是什么，谁是函数值等问题展开，充分體现了建模思想，体现了数学建模这一核心素养.笔者从实际情境出发，让学生经历建立函数模型、研究事物变化规律，进而解决问题的过程，通过概括一类函数模型的共同特征，得出指数函数的概念，充分体现了培养数学抽象这一核心素养.通过画出函数的图象概括函数性质这一方法又充分体现了直观想象素养的培养.

备注：本文系全国教育科学“十三五”规划2016年度单位资助教育部规划课题“基于高中学科核心素养培养的课堂教学设计研究”课题论文，课题批准号FHB160564.