漫谈“综合法”与“分析法”

尤善培

首先欣赏这样一个数学问题：

已知a≥2，b≥2，求证ab≥a+b.

证明：根据对称性，不妨设a≥b，则由b≥2得ab≥2a≥a+b.

漂亮！这是一个简洁、绝妙的证明，

现在要思考的问题是怎么想到“对称性”的？怎么想到“不妨设”的？怎么想到这个证明方法的呢？让我们慢慢撩开这个“漂亮”证明的面纱吧.

见到这个问题后，容易产生的念头是：这个不等式的证明似乎不难.

思考：如果将左边a，b均用2代人，得ab≥4，如果a+b≤4就好了.遗憾的是a+b并不这么听话（恰恰相反，a+b≥4）.证明陷入僵局，怎么办呢？

再思考：我们应当回到出发点，并总结一下失败的原因，原因是什么呢？原因在于ab≥a+b的右边也有变元a，b，所以不能简单地把左边换成常数4.因此，我们要调整思路.怎样调整呢？

尝试：不妨在ab中保留b，将以换成2，得到ab≥2b（*）.现在，我们采用分析的方法：假设问题已经解决，只要证明a+b≤2b问题就解决了，于是只要以≤b问题就解决了.尽管不能断定a≤b成立，但我们已经看到了胜利的曙光，因为在a≤b的前提下，ab≥a+b成立.至此问题就获得了部分的结果.

策略：化整为零.我们“先解决了问题的一部分”，在a≤b的情况下，问题获证.

乘胜追击，扩大成果！

再尝试：稍作点变化，在ab中保留a，将b换成2，那么在a≥b的条件下，也有ab≥2a≥a+b.现在，将上述两方面情况综合起来就得到问题完整的证明，

反思：上面的再尝试和尝试中，实质完全一样，并不是新的举措，其原因是a，b具有对称性，显然，利用a，b的对称性，我们就有了开头的很简洁明快的证明.

乔治·波利亚曾说过：“数学问题的解决仅仅是一半，更重要的是解题之后的回顾.”其实，我们对上面的解题过程还可以再反思，

反思：解决本题困难的原因还在于不等式两边均含有a，b，表现为过分的“自由”，要进行限制.

策略：让不等式只有一边含有a，b.于是产生了下面“一气呵成”的证明.

分析：要证明ab≥a+b①，由于a，b均为正数，两边同时除以ab，只要证明1≥1/a+1/b②，而事实上a≥2，b≥2，立刻就有1/a≤1/2，1/b≤1/2，②式显然成立，

我们还可以把这个证明过程写得更加简洁和漂亮，

证明：因为a ≥2，b≥2，所以1/a≤1/2，1/b≤1/2，所以1/a+1/b≤1，即ab≥a +b.

事实上，我们对上述的思考过程再思考的话，就会发现对（*）式的研究还不够深入.因为我们能得到ab≥2b，同样我们也能得到ab≥2a.只要把两式相加，就有ab≥a+b了.这是一个多么漂亮的证明.

上面我们欣赏的漂亮的证明，实质上就是综合法，撩开面纱的过程就是分析法，而综合法与分析法是两种最基本的逻辑探索方法，它们是为了发挥演绎法在探索活动中的作用而形成的推理与证明的方法，

我们再看一个命题的证明过程.

生：这个证明很精彩.从问题的条件b

师：你说得很好！这种证明过程就如同从一条河流的源头出发，顺流而下，遍历大小支流，排除干扰，直至达到游览的目的地为止，这就是“由因导果”的综合法证明.

可以用下面的框图来表示“若A则B”的推理过程：

A=>C=>D=>…=>B.

现在要紧的是要知道“A=>C”的念头是怎样产生的.

我们“倒放”上述证明的“慢镜头”！

事实上，我们只要把刚才的“慢镜头”倒放回去，就得出文中开头所述的十分简洁、精妙的综合法证明.

生：原来如此！

师：我们把后一种方法称为分析法证明.

分析法又称为倒推法，它和綜合法的证明过程刚好相反.分析法是从问题的结论出发，追溯到结论成立的条件，这样一步一步倒着推上去，直至使结论成立的条件和已知条件相吻合为止.可见，分析法犹如从游览的目的地步步上溯，直到江湖的源头为止，所以人们又称分析法是“执果索因”的探索方法.

可以用下面的框图来表示“若A则B”的推理过程：

B<=C<=D<=...<=A.

生：我们在证明具体的问题时，应该采用哪种方法呢？

师：我们要知道两种方法的区别主要在于推理的出发点不同.综合法是“由因导果”，由条件顺推，被称为“顺推法”，分析法是“执果索因”，由结论倒推，又被称为“倒推法”，这两种方法都是常用的探索方法.

一般地说来，算术的方法是综合法，而代数中方程的方法，就是分析法.在使用分析法时，总是从结论出发，总要先假定问题已经解决（如在用方程的方法解应用题时，首先假设结果已经求出，即设未知数为z），然后再进行解答.这里再看一个例：

生：我知道了.在思考问题时常用分析法，具体表述证明的过程时用综合法.

师：很有道理.比较这两种方法，各有其优缺点.从寻求解题思路来看，分析法执果索因，从“未知”看“须知”，逐步靠拢“已知”，常常根底渐近，有希望成功.综合法由因导果，从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，往往枝节横生，不易奏效.就表述过程而言，分析法叙述烦琐，言辞冗长;综合法叙述简洁，条理清晰.

我们再来看一个用这两种方法协同作用、相得益彰处理问题的解题过程.

例3 证明定义在R上的任一函数f（x）均能表示为一个偶函数和奇函数的和.

简析：由于不知道f（x）是一个什么样的函数，因而不可能将f（x）进行分拆，怎么办？我们采用分析的方法，假设f（x）可以表示为符合条件的两个函数的和，那么会是一个什么情形呢？

在本题的解决过程中，分析法起了探路的作用，以探路发现的结论作为重要的逻辑支点，为本题的逻辑推理（综合法证明）起了重要的支撑作用.事实上很多的科学发现就是这样的思维活动的结果.