立足母题 展开联想

谷一

进入高三以来，老师一直要求我们多做题、做好题、多思考、多联想，能够通过解一道题，联想到多种方法和类似的题，有助于开拓我们的思维.

前几天老师布置我们做一道关于重心的题，题目是这样的：

如图1，若点G为△ABC的重心，且AG⊥BG，则sin C的最大值为____.

立即向老师汇报我的做法，老师很赞赏.却又提出一个问题：从形的角度看，还有其他想法吗？

引例的几何解法：

如图5，过A，B两点作⊙M（当然可以作出无数个圆），若使得⊙M与x轴正半轴相切，则切点即为所求点C（可由平面几何知识证明：∠ACB>∠ADB）！此时，由切割线定理可以得到：OC²=OA·OB，即x=√ab时取“=”！

从引例我得到启发：本题不过是把引例中的x轴正半轴换成了⊙D而已，只需找出动⊙M与⊙D的切点即可！

如图6，过A，B两点作⊙M，逐步增加其半径，直至与⊙D内切，显然切点为AB中垂线与⊙D的交点Ci此时∠ACB取得最大值.（在⊙D上任选一异于点C的点N，连结AN交⊙D于点K，则∠ACB=∠AKB>∠ANB，即可证明）

看了我的完整解答，老师笑了：“联想是一种非常有效的解题方式，它不仅能够帮助我们突破思维中的局限瓶颈，拓展思维，还可以提高思维灵活性与想象能力.”

至此，我从几个不同角度探究了本題的一些解法.这些，都是联想得来的，在以后的数学解题中，我们应仔细观察题设条件中的细微之处，发掘题目的隐含条件，大胆联想，从而找到解题的突破口，使得数学问题快速得解.