骨架突破法

董裕华

编者按：不少同学一开始也是雄心勃勃，希望通过自己的努力，在数学上有个大的飞跃，但大部分人过不了多久就放弃了.每到放假或者补课的时候都会抱着从头再来的心态，都是从“集合”开始，一个章节一个章节地过关.即便是学习不好的学生，对于集合这一部分都充满自信，其原因就在于此.这样的学习，与其说是在积聚实力，倒不如说是在积累挫折感.

那么，有没有捷径可走？就从骨架内容开始突破吧.

什么是数学的骨架内容？

所谓骨架内容是指数学的基本概念和重要公式.概念是数学的核心内容.学习一个新符号，概念就是指那个符号的定义、性质、特征等;学习一个图形，概念则是指图形的定义、定理、性质一类的东西.公式可以让我们省略很多解题步骤，很容易直接得出结果，如三角诱导公式、正弦定理、余弦定理等.重要的数学用语或公式要在理解的基础上熟练背诵，并能准确默写.需要注意的是，在作为骨架的概念或者公式里没有必要包含过难的内容，认真学习以后就应该能够记得住.骨架学习，旨在把握知识整体的骨架.

怎么学习骨架内容？

数学的骨架内容，大部分的辅导书都已经列出了.教科书和辅导书在学习上的作用各有千秋.教科书的长处在于它有较为详尽的说明，重点是把既简单又重要的内容整理出来;辅导书的长处则在于它收录了考试中常常出现的题目类型，而且把概念整理得条理清晰、一目了然.在学习的时候，要以教科书为主，并依靠辅导书的帮助来整理一些需要背诵的东西.如果喜欢自己整理，还可以用荧光笔或彩色笔把必须要记住的东西标注好，或把它们抄写在笔记本上去记忆，这样可能会更有成效.

为了提高骨架内容的学习效果，还要辅之以相应的骨架题.骨架题就是那些与重要的概念、公式直接相关的题目.这些题目是考试中的必考题，是检验各个单元的重要概念是否掌握的尺子.大致来说，围绕每个知识点的骨架题有4个左右，有时候也会只有一两个.学习骨架题最好以教科书为蓝本，一般都是在重要概念或公式的说明之后出现的题目，课本的例题和习题大多是骨架题.前面举的好多例子都是在课本骨架题的基础上拓展开来的.

为什么学习骨架题可以迅速提高成绩？

第一，骨架内容和骨架题代表的是所在单元的基本学习目标.要想获得基础分，掌握它们就已经足够了.如果说骨架内容是构筑数学大厦的钢筋，骨架题就是构筑大厦的}昆凝土，其他数学题目只是建筑需要的砖瓦.砖瓦也不是多多益善，但没有钢筋、}昆凝土，高楼大厦就无法构筑.

第二，骨架题是学习相关知识点的重要载体，让整个知识血肉相连，促进了骨架内容的理解和消化，就像钢筋、混凝土融合在一起的时候才牢不可破.如果连骨架题都不会，其他题目做得再多也不会有什么帮助.

第三，骨架题在考试中一定会出现.如果把略微应用了骨架题的题目都算在内的话，很多的考试题目实际上都在此列，即使是高考，只要把这些内容切实掌握好，考个100分以上（满分按150分或160分计）也不是一件很难的事，而且对骨架题集中学习，量并不大，时间也可以大幅减少.只要把骨架题实实在在掌握好了，至少能使你保持中游水平，

第四，如果在平时学习时，已经预习过课本的骨架内容和骨架题，你就能更加积极地参与课堂上的互动，理解也会更清楚，自然也就会觉得更为有趣.

骨架题要练习到什么程度？

骨架题要练习到在没有任何外界帮助的情况下，能够自己把它们解答出来的程度.这与背诵公式和概念差不多，特别是对于教科书中的解题步骤，尽可能原封不动地把它们写出来是很重要的，有些同学总是自己随心所欲地杜撰一些解题步骤，这是一个必须改正的不良学习习惯，

以《平面向量》为例，我们编制了如下资料（注：受篇幅限制，本文仅摘录部分）：

一、向量的基本概念

【骨架知识】

①向量的定义：既有大小又有方向的量.向量具有数量和方向两重性.向量可以用有向线段来表示，有向线段是固定不变的，但向量可以平移，向量平移后，其起点和终点的坐标都变了，但向量的坐标不变。

②零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0.零向量的方向是任意的.

④相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量.

⑤平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a，b叫做平行向量，记作：a∥b;规定零向量和任何向量平行.两向量平行包含两向量在同一条直线上的情形，但两直线平行却不包含两直线重合的情形，

相等向量與共线向量的关系：（i）相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等;（ii）相等向量具有传递性，而平行向量不具有传递性.非零向量a，b满足a∥0，b∥0，但不一定有a∥b.

⑥相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量.a的相反向量是-a.

【骨架题】

（l）已知A（l，2），B（4，2），则把向量AB按向量a=（-1，3）平移后得到的向量是_______________.

（2）下列六个命题：（i）若|a|=|b|，则a=b.（ii）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同.（iii）若AB =DC，则ABCD是平行四边形.（iv）若ABCD是平行四边形，则AB =DC. （v）若a∥b，b∥c，则a∥c.（vi）A，B，C三点共线<=>AB，AC共线，其中正确的是____

二、向量的表示方法

【骨架知识】

①几何表示法：用带箭头的有向线段表示，起点在前，终点在后，如AB.

②符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a，b，c.

③坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j为基底，则平面内的任一向量a可表示为a =xi+yj=（x，y），称（z，y）为向量a的坐标，a=（x，y）叫做向量a的坐标表示.如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同.

三、平面向量基本定理

【骨架知识】

如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a =λle1 +λ2e2.

【骨架题】

（3）向量a，b，c在正方形网格中的位置如图1所示.若c=λa+λb（λ，μ∈R），则λ/μ=____

（4）已知D，E分别是△ABC的边BC，AC的中点，且AD =a，BE =b，则BC可用向量a，b表示为____

（5）在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC

的中点，若AC =A AE+μAF，其中λ，μ∈R，则λ+μ=____

四、实数与向量的积

【骨架知识】

实数λ与向量a的积仍是一个向量，记作λa.它的长度和方向规定如下：①|λa|=|λ||a |;②当λ>O时，λa的方向与a的方向相同;当λ

五、平面向量的数量积

【骨架知识】

①两个向量的夹角：对于非零向量a，b，作OA =a，OB =b，∠AOB=θ（0≤θ≤π）称为向量a，b的夹角.当θ=O时，a，b同向;当θ=π时，a，b反向;当θ=π/2号时，a，b垂直.

②平面向量的数量积：如果两个非零向量a，b，它们的夹角为θ，我们把数量|a|.|b| cosθ叫做a与b的数量积，记作：a.b，即a.b=|a ||b| cosθ.规定：零向量与任一向量的数量积是0.

【提醒】 数量积是一个实数，而不再是一个向量，零向量与任一向量的数量积是数0，而数0与任一向量的积是零向量.

③向量数量积的性质：设两个非零向量a，b，其夹角为θ，则：