双绝对值问题中两个充要条件的证明与应用

浙江省东阳市第二高级中学 (322100)

陆琳琳

在高三复习过程中，我们经常会碰到双绝对值的问题，学生处理此类问题只能想到零点分段讨论，当题中出现参数时就手足无措，不知道该怎么处理.笔者根据碰到的几个问题进行探究，如果把双绝对值的问题通过等价转化变成单绝对值问题，那么很多难题就迎刃而解了.

一、两个结论

1.|A|+|B|≥M的充要条件是|A+B|≥M或|A-B|≥M.

证明:|A|+|B|≥M⟺|A|≥M-|B|⟺A≥M-|B|或A≤-(M-|B|)⟺|B|≥M-A或|B|≥M+A⟺B≥M-A或B≤A-M或B≥M+A或B≤-A-M⟺A+B≥M或A+B≤-M或A-B≥M或A-B≤-M⟺|A+B|≥M或|A-B|≥M.

2.|A|+|B|≤M的充要条件是|A+B|≤M且|A-B|≥M.

证明:|A|+|B|≤M⟺|A|≤M-|B|⟺

二、应用

例1 (2017金华十校模拟题)已知f(x)=x-2,g(x)=2x-5,则不等式|f(x)|+|g(x)|≤2的解集为.

解:(1)|f(x)|+|g(x)|≤2⟺

例2 解不等式:|x|+|x-2a|<4.

解:|x|+|x-2a|<4⟺

当-2

解:|f(x)+f(x+l)-2|+|f(x)-f(x+l)|>2(l>0)恒成立⟺|2f(x)-2|>2或|2f(x+l)-2|>2恒成立⟺f(x)>2或f(x+l)>2恒成立.