向量的“基”思想

浙江省镇海中学 315200

董昊雷

平面向量作为中学数学的重要考点之一，其地位始终举足轻重.平面向量基本定理是解决向量问题的基础.本文以此定理为指导，对近几年出现的较为综合创新的高考题和高考模拟题加以浅析.

平面向量的基本定理是解决平面向量计算问题的重要工具.平面向量的概念及运算并不困难，但在处理向量的问题或应用向量时，学生却常常茫然无措，思路不清，逻辑不明.在测试评价中，对平面向量基本定理考查的试题也是常考常新.笔者认为，如何破解问题，关键在于教学中要充分认识平面向量基本定理的“基”思想.

一、问渠那得清如许——“基”的本质

从该定理可以看出，平面内一组不共线的向量可以作为一组基底，平面中的任意向量都可以用这组基底表示，向量空间中任意一个元素，都可以唯一地表示成基向量的线性组合.特别地，当这组基底互相垂直时，即构成平面直角坐标系.基底的建立为向量的运算提供了可能，而运算把向量与几何、代数有机地联系在一起，即把图形的研究推进到了有效能算的水平，从而实现了代数几何到向量几何的转折.

面对具体问题时，可以根据平面向量基本定理选取一组基底，并且把条件和问题中遇到的所有的向量都用这组基底线性表示，这种减少变量、汇聚条件的思想可以使问题迎刃而解，同时这样的思想为我们提供一种程序化的操作.

二、小荷才露尖尖角——“基”的选择

1．符号方式

A．∠ABC=90°B．∠BAC=90°

C．AB=ACD．AC=BC

2．坐标方式

例1解析：如图1,以C为坐标原点，CB为x轴建立平面直角坐标系.

图1

图2

例3解析：如图2建立平面直角坐标系.

3．几何方式

图3

三、吹尽狂沙始到金——“基”的推广

由二维的平面向量基本定理可以得到一般性的向量基本定理的高维推广形式.

n维向量基本定理：对n维向量β及α1,α2,…,αm，若存在一组数k1,k2,…,km，使得β=k1α1+k2α2+…+kmαm，称β为向量组α1,α2,…,αm的一个线性组合，或称β可以由向量组α1,α2,…,αm线性表示．

在高中阶段，主要研究的是二维和三维的情况，这里就讨论三维空间中的“基”思想.类比二维平面中向量的解题思路，在三维空间中只需选取不共面的三个向量作为一组基底，然后把条件和问题中所有的向量转换成这组基底的线性表示，问题即可迎刃而解.而且选择基底的原则与二维平面的相同，选取已知条件尽量多的或者常见易表示的.对于条件较少的问题有时可选择不同的基底作为尝试，归纳总结出选择基底的常见套路.如此问题就会变得简单易入手.

图4

图5

方法二(坐标方式)：如图5，以A为原点，AB为x轴建立空间直角坐标系.

图6

高考向来注重基础性和综合性同在，综观近几年浙江省高考数学试题，对平面向量基本定理的考查既有平面向量的正交分解和坐标运算的简单试题，又有与其他知识综合联系的中、高难度试题，考生在解答中往往会遇到困难.考生在备考复习平面向量基本定理的相关问题时应注意学会以上三种思考方式.