一类带积分边值条件的分数阶微分方程多个正解的存在性
2019-09-02周文学
孙 芮, 周文学
(兰州交通大学 数理学院,甘肃 兰州 730070)
分数阶微分方程起初是在1695年由Hospital和Leibniz提出的,近年来分数阶微积分受到了很多学者的广泛应用[1-6]。文献[5]在Riemann-Liouville导数的定义下利用Guo-Krasnosellskill不动点定理研究了分数阶微分方程边值问题
正解及其多个正解的存在性。其中f:[0,1]×R→R是一个非负连续函数。函数g:[0,1]→[0,),g∈L[0,1],存在W>0,W≠1使得g(s)sδ-1ds>W。且u(δ)(t)为一致分数阶导数,其定义由下文给出。
1 预备知识
记C([0,1],R)为定义在[0,1]→R上的连续实值函数构成的Banach空间,其范数为‖u‖=sup{|u(t)‖t∈[0,1]}。设Ck([0,1],R)为[0,1]→R上k次可微实值函数构成的Banach空间,其范数为‖u‖Ck=max{‖u‖,…,‖u(k)‖}。本文中Cδ([0,1],R)为定义在[0,1]→R上直到分数δ次连续可微实值函数构成的Banach空间,δ∈(2,3],其范数为‖u‖Cδ=max{‖u‖,…,‖u(δ)‖}。设LP([0,1],R)为定义在[0,1]→R上满足可测函数构成的Banach空间,其范数
定义1[3]设δ∈(n,n+1]且f:[0,]→R。f的一致分数阶导数可定义为
(1.1)
常用f(δ)表示,其中[δ]表示大于等于δ的最小整数。
定义2[3]设δ∈(n,n+1]且f:[0,]→R。f的一致分数δ次积分可定义为
(1.2)
特别地,在本文中δ∈(2,3],则
(1.3)
引理1[3]对任意的f∈C([0,1],R)。带积分边值条件的分数阶微分方程边值问题
(1.4)
有唯一解
(1.5)
其中
(1.6)
引理2由(1.6)式定义的Green函数G(t,s)具有以下性质
(1)对任意t,s∈(0,1),G(t,s)≥0;
证明:(1)显然成立;下面证明(2),
因为δ∈(2,3],0st1,显然G(t,s)≥0即g1(t,s)>0,g2(t,s)>0。
所以G(t,s)关于t是单调递增的。
注意到
下面我们证明:
(i)当0
显然,
引理3[7]若函数f∈C([0,1]×[0,),[0,)),则(1.4)式的唯一解u满足
证明:由(1.4)-(1.6)式知u可表示为
(1.7)
从而,我们有
结合引理1有
为方便起见,我们引入以下记号
则P是X上的锥。定义算子T:P→P:
由引理1,边值问题(1.4)-(1.6)有解u=u(t)当且仅当u是算子方程u=Tu的解。
(1)‖Tx‖‖x‖,x∈P∩∂Ω1,并且‖Tx‖≥‖x‖,x∈P∩∂Ω2;
(2)‖Tx‖≥‖x‖,x∈P∩∂Ω1,并且‖Tx‖‖x‖,x∈P∩∂Ω2。
2 主要结果
定理1假设函数f:[0,1]×[0,)→[0,)连续,存在正常数a,b,a≠b,使得:
(H2)f(t,u)当(t,u)∈[0,1]×[0,b]时。
则边值问题至少存在一个正解u′使得min{a,b}‖u′‖max{a,b}。
证明:首先证明T:P→P全连续。
事实上,如果u∈P,根据G(t,s)与f(t,u)的非负性,当u∈P时,则有
(Tu)(t)≥0,0t1。
另一方面
根据引理1知:
因此,T:P→P。
又根据G(t,s)与f(t,u)的连续性,由Arzela-Ascoli定理,可知T是全连续的。设