“正弦定理”教学设计

吴晨

【摘 要】本文通过具体实例抽象出数学问题，结合已有知识，探究并证明正弦定理，通过发现问题、解决问题的过程，以及例题讲解细化正弦定理的应用。

【关键词】三角形;边角关系;正弦定理

一、教学内容分析

1.教材内容及地位

三角函数是基本初等函数，是一种重要的数学模型，在数学和生产生活中具有重要作用，解三角形则是三角函数知识的延伸。通过对任意三角形的探索，能使学生发现三角形中的边长与角度之间的数量关系，进而得到并掌握正弦定理、余弦定理，从而应用其解决一些简单的与测量和几何计算有关的实际问题。

2.教学重点

通过对三角形边角关系的研究，证明正弦定理，并用它们解决有关问题。

3.教学难点

将锐角三角形、钝角三角形转化为直角三角形，证明猜想。

二、教学目标分析

1.通过对具体实例的思考，直观感受测量问题中需要进一步研究任意三角形边与角的关系，激发学生分析问题与解决问题的积极性。

2.通过对三角形边角关系的探究、小组讨论，知道正弦定理的证明过程，体会由特殊到一般及转化与化归的数学思想。

3.会叙述正弦定理，能总结出应用正弦定理可以解决的解三角形问题，体验方程思想在解三角形问题时的重要作用。

三、学生学情分析

学生通过初中的学习，已经掌握了相关边角关系的定性结果，在高中必修四中又学习了三角函数、平面向量等相关知识，但对前后知识间的联系、理解、应用有一定困难。教师在教学中要恰当引导学生，并通过小组合作的方式，自主探究正弦定理的证明过程，从而提高学习主动性，并品尝劳动成果的喜悦。

四、教学策略分析

1.引导发现

以三张图片展现具体测量实例，引出解决问题的具体办法——深化三角形的边角关系，实现目标1。

2.探索证明

以直角三角形为例，推导出■=■=■，并大胆猜想其在一般三角形中也成立，学生分组探究，加以证明，并总结定理，实现目标2。

3.应用举例

通过例题，总结出正弦定理的两个主要应用，体会正弦定理解决实际问题的过程，从而实现目标3。

五、教学过程分析

1.创设情境，引入课题

问题1：（1）我国古代就有嫦娥奔月的神话故事，那月亮离我们到底有多远呢？（2）湖南卫视的一档节目《奇妙的朋友》中有一个任务是测量长颈鹿的身高，怎样测量更方便呢？（3）在无法到达河对岸的情况下，如何测得河的宽度呢？

【设计意图】以身边的实例激发学生研究问题的兴趣，经过引导，将问题归结为三角形的边角关系。

问题2：在初中我们学习过哪些与三角形边角有关的结论呢？

【设计意图】初中已学习过“大边对大角，小边对小角”这一定性结论，而具体的距离、高度等是数量，教师需引导学生探究任意三角形中角A、B、C与边a、b、c之间的定量关系。

2.小组合作探究，探索定理

问题3：哪种三角形特殊？在初中我们学过哪些与直角三角形有关的结论呢？

【设计意图】从直角三角形出发，发现并证明■=■=■成立。大胆猜想这一结论对斜三角形也成立。

活动1：分组讨论，证明上式在锐角三角形中成立。

活动2：类比锐角三角形中证明上式成立的方法，证明其在钝角三角形中也成立。

【设计意图】转化与化归思想在高考中占有十分重要的地位，这里通过将锐角三角形转化为直角三角形，应用三角函数定义表示出高线，进而证明该结论也对锐角三角形成立;学生通过分组讨论，应用类比思想加以证明，体验从大胆猜想到小心求证的数学发现过程，进而得到正弦定理。

问题4：谁能给大家总结一下正弦定理的内容？

【設计意图】检测目标3。

3.典例精讲

问题5：已知边长a、角A、角B，能求边长b、c及角C吗？已知边长b、角A、角C，能求边长a、c及角B吗？以上的解唯一吗？

【设计意图】引出解三角形的定义，并总结出应用正弦定理可以解决的一类问题，即已知角角边、角边角解三角形，发现其恰好为初中学习过的三角形全等的判定定理之中的两条，使得学生的知识框架更为完整。

例1：在△ABC中，已知A=32.0°，B=81.8°，a=42.9cm，解三角形。

例2：在△ABC中，已知a=20cm，b=28cm，A=40°，解三角形。

变式：在△ABC中，已知b=10，c=5■，C=60°，解三角形。

【设计意图】检测学生对正弦定理的理解程度，并考查能否运用方程思想完成解答。由此总结出正弦定理的两个应用：（1）已知两角及任意一边，可以求出其他两边和另一角;（2）已知两边和其中一边的对角，可以求出三角形的其他的边和角。又通过变式讲解，引导学生进一步明确什么情况下三角形的解是唯一的，什么情况下三角形的解不确定，为下节课做铺垫。

4.总结知识，优化结构

课堂小结：由学生自己总结本节课学到的正弦定理的内容及主要应用。

【设计意图】理清本节课的教学重点，使学生明确知道本节课学习了什么以及该如何应用。

5.作业设计

课后探究：

（1）正弦定理的其它证明方法。

（2）已知三角形两边及其中一边的对角，三角形解的情况。

（3）■=■=■的比值等于什么？

作业：

教科书第4页练习1、2。

六、教学评价与反思

需要教师的精心设计，平衡高中课堂学习时间的有限性与对学生数学能力的培养，。在本节教学设计中，运用问题解决教学引导学生思考，能够充分还给学生自主学习、主动探究的时间，使其以小组讨论的形式，运用转化与化归的数学思想证明出正弦定理。学生积极性很高，能通过亲身体验透彻理解正弦定理并清除分析相关问题，在后续的例题讲解中学生作答流畅，基本完成了预设的学习目标。

【参考文献】

[1]刘绍学.普通高中课程标准实验教科书必修5[M].北京：人民教育出版社，2007

[2]中华人民共和国教育部.普通高中数学标准（实验）[M].北京：人民教育出版社，2003