数学分析技巧在高等代数教学中的一点应用

◆摘 要：高等代数处理的矩阵都是有限维的，因此比较容易养成学生离散性的思维。然而具体在矩阵教学联系到二次型或者多项式的处理时我们一些时候可以用数学分析的极限技巧来处理。

◆关键词：实对称矩阵；二次型；正定；连续；上确界

一、引言

大学数学的教学过程中，数学分析与高等代数往往容易被看做两个完全不同的学科来学习，高等代数中较少出现连续性的讨论，本文将把多项式看做连续函数来处理高等代数中一个较为常见的问题，希望能让学生看到对该问题更为清晰的刻画。

二、极限技巧处理高等代数问题

本节我们主要将以例题的方式来极限的技巧在高等代数问题中的应用。我们首先回顾以下定义。

定义2.1：假设A是n阶实对称矩阵。如果对任意非零的n维实（列）向量X都有[XtAX>0]，则称A是正定矩阵。

例2.1：假设A是n阶实对称矩阵。则存在足够大的实数t使得tE+A为正定矩阵。

（从高等代数角度，我们首先可以得到实对称矩阵正交相似于对角矩阵，其中对角上元素为矩阵的特征值，再根据tE+A与A的特征值的关系，只需取到足够大的实数t使得tE+A的特征值均为正数即可。）以下我们从数学分析角度给出一个证明。

证明：我们在n维实（列）向量空间[Rn]中定义向量长度如下：

取集合B=[X∈Rn：X≤1]。易知B为[Rn]中的有界闭集。我们定义[Rn]上的连续函数[f]：[Rn→R]满足[fX=XtAX]。故[f]在B上有下确界。取M为[f]在B的下确界并取t[>1-m]，可得對任意[X∈B]有：

特别地，对任意非零的[X∈Rn]，我们有：

因此tE+A为正定矩阵，得证。

参考文献

[1]张禾瑞，郝鈵新.高等代数[M].高等教育出版社，2007.

[2]陈纪修，於崇华，金路.数学分析上下册[M].高等教育出版社，2000.

作者简介

钱文华（1986—），男，民族：汉族；籍贯：安徽安庆；职称：讲师；学历：博士；研究方向：算子代数。