单比特相关器在超声测距中的应用研究

张博轩，赵天白

(中国电子科技集团公司第五十四研究所，河北 石家庄 050081)

0 引言

近年来，随着数字信号处理技术的发展，基于Delta-sigma ADC的单比特信号处理方法开始得到一些应用[1]。传统的信号时延估计方法，通常需要大量高精度、高分辨率、实时的环境识别，但是每个传感器的计算能力是有限的，而且在相关的计算过程中需要复杂的数字器件。目前基于Delta-sigma调制的单比特信号处理方法在文献中已经有所提及，但是还没有形成比较完善的检测系统[2]，本文提出一种将单比特信号处理技术应用在硬件系统上的新思路，利用基于Delta-sigma调制器结构的单比特信号处理算法降低FPGA等逻辑芯片计算资源的消耗，实现了单比特信号处理算法从仿真到硬件实现的理论论证。

1 超声测量的基本原理

1.1 亮点模型

亮点模型最早由汤渭林提出，用于分析主动声纳系统中的目标回波结构，并用来仿真目标回波，同样也适用于超声测量中障碍物的回波建模。

理论分析和实验研究都证明，在高频情况下，任何一个复杂目标的回波都是由若干个子回波迭加而成，每个子回波可以看作是从某个散射点发出的波，这个散射点就是亮点，它可以是真实的亮点。也可以是某个等效的亮点这样，任何一个复杂目标都可以等效成若干个散射亮点的组合，每个散射亮点产生一个亮点回波，总回波是这些亮点回波相干迭加的结果。

亮点及其回波具有以下特点，根据形成机理可以把亮点分成2类：

(1)几何类亮点。它主要由目标的几何形状决定，最重要的是凸光滑表面上的镜反射亮点，当表面曲率半径较大时，它的贡献往往是第一位的；其次是边缘或棱角的反射亮点，有时候它们也不能被忽略。这类亮点回波可以用物理声学或几何声学方法找出，它们的声中心与几何中心一致。

(2)弹性类亮点。它们是在特定条件下出现的表面绕行波或弹性散射波对应的亮点。这类亮点必须用波动或几何绕射理论分析，并不存在真实的几何亮点，而是根据波传播的声程确定的等效亮点。例如，弹性球或球壳的回波是一个脉冲串，其中第一个是镜反射波，亮点是球的顶点，后续的波都是弹性类散射波，并无真实的几何亮点存在，但是可以根据这些波相对于镜反射波的时延值确定等效亮点位置。

超声测距系统示意如图1所示。

图1 超声测距系统示意

考虑如图1所示的超声测距系统：超声传感器安装在机器人身体前方，通过周期性发射脉冲信号来探测障碍物距离。最简单的情况是只有一个亮点的点目标，如果发射的声信号为s(t)，遇到点目标时发生反射，反射波被超声换能器接收，接收信号x(t)可以表示为：

x(t)=B·As(t-τ)+n(t)，

(1)

式中，B为超声波在空气中传播的幅度衰减；A为点目标的反射系数，许多情况下，A都是一个复数，A的模值表示反射波的幅度变化，介于0～1之间，而A的辐角表示反射波的相位变化，介于0～2π之间；τ为反射波相对于发射波的时间延迟，超声测量的目的是估计τ的值，来计算目标的距离；n(t)为接收的噪声包含环境噪声和电路的噪声。

当目标不是一个点目标时，可以根据亮点模型将其分解为M个亮点的组合，这时回波将是M个亮点的回波叠加，接收信号x(t)可以表示为：

(2)

式中，Bi为第i个亮点的传播损失；Ai为反射系数；τi为时间延迟。M个亮点共同决定了反射波的结构。

1.2 超声传感器的波束宽度与分辨率

实际应用中的超声传感器具有一定的指向性，实际发射的声波并不是一根线，而是具有一定宽度的波束。图2中用两条射线表示超声传感器的波束宽度，圆弧表示传播时间相同的点，也称为波阵面，在同一波阵面上的点目标表现为一个亮点，在时间上不能分辨。

图2 机器人的超声测距示意

随着超声波的传播，波阵面将不断扩大，不能分辨的空间也变大，因此用超声波探测的距离是有限的。对于一个开角为30°的超声传感器，在1 m处不能分辨的距离约为0.52 m，此处将会扩大一倍。

除了同一波阵面上的亮点不能分辨之外，由于反射波时延的测量也不能无限精确，在时延测量精度内的亮点也不能分辨。图2(a)是用超声波探测墙壁的情形，这时墙壁上的点由于处于不同的波阵面上，将会形成一连串的亮点，当距离墙壁很近时，这些亮点将会合成一个，从而不能分辨，这其实是许多超声测距系统的工作状态。

图2(b)是测距系统测量门框时的情况，一方面2个门框处于同一波阵面上；另一方面门框的棱角将会形成强的亮点，超声传感器接收到门框的回波时，同样会认为是一道墙(图2(b)中的虚线所示)，这也是文献[4]所提出问题的答案。

改善超声测距系统的分辨能力有2种方法：

① 改善角度分辨能力。可以使用开角更小的超声传感器或传感器阵列，但这意味着如果要探测360°的目标就需要更多的超声传感器，更多的时间和成本。同时也可以使用让机器人运动的方式，一方面，可以通过变换测量位置进行多次测量后将结果综合后进行判断[5]；另一方面可以通过运动让门的距离更近些，如图2(c)的情况。光学探测的情况略有不同，还可以使用放大镜和望远镜这些光学聚焦手段。

② 改善时间分辨能力。如果能够精确地测量门框和墙壁的位置，自然也能判断出是门还是墙壁。

1.3 匹配滤波与脉冲压缩

接收到的信号除了亮点的反射波，还包含随机噪声n(t)，通常假设是白噪声，具有平坦的功率谱密度N0。根据最大输出信噪比准则，可以得到最佳的检测器为[6]：

(3)

式中，

h(t)=Ks*(t0-t)，

(4)

为检测器的冲激响应；K为一个常数；t0为对参考信号s(t)时延时刻，这一系统被称为匹配滤波器。把式(4)代入式(3)可得：

(5)

其输出实际是接收信号与发射信号互相关函数RXS，因此匹配滤波器与互相关器是等价的。

进一步将式(1)代入式(5)中可以得到匹配滤波器将在t=t0+τ时刻具有最大输出信噪比：

(6)

如果定义输出信噪比与输入信噪比的比值为处理增益：

(7)

式中，B为接收系统的带宽，一般与信号的带宽相同；T为信号的脉冲宽度。

对于频率为f0的单频脉冲信号，

(8)

其带宽B和脉冲宽度T近似满足[7]：

BT≈1。

(9)

也就是说，如果使用单频脉冲信号进行检测，其获得的处理增益G将是一个常数。

对于功率为P，TB=N>1的复杂信号，其脉冲长度为T，经匹配滤波器后其输出脉冲宽度为：

(10)

输出脉冲峰值功率是P0，并近似有：

P0T0=PT。

(11)

因此，

P0≈NP。

(12)

一方面匹配滤波器将信号长度由T压缩到T0=T/N；另一方信号功率由P增加到P0。这就是“脉冲压缩”的含义，N=TB就是脉冲压缩倍数。显然，一切TB>1的信号都是脉冲压缩信号，获得的处理增益G将大于单频脉冲信号。最常用的复杂信号有线性调频信号(LFM信号)，其表达式为：

(13)

式中，f0为线性调频信号的起始频率；k=B/T为调频率。

1.4 模糊度函数与分辨率

信号s(t)的模糊函数定义为[8]：

(14)

对于式(3)定义的匹配滤波器而言，如果输入的信号是有时延τ0和频移ξ0时，

x(t)=s(t-τ0)ej2πξ0(t-τ0)。

(15)

其输出变化为：

y(t)=Kχ(τ0+t0-t，-ξ0)。

(16)

因而，通过研究信号模糊函数的特性可以了解声呐系统匹配滤波处理的效果，而这正是模糊函数研究的最大意义。

假设有2个亮点的反射波信号：亮点1反射波时延为τ0频移为ξ0。亮点2的回波时延τ0-τ频移为ξ0+ξ，即

x1(t)=s(t-τ0)ej2πξ0(t-τ0)，

(17)

x2(t)=s(t-τ0+τ)ej2π(ξ0+ξ)(t-τ0+τ)。

(18)

可以采用2个信号的方差即

(19)

来衡量2个信号的差别，σ2越大越容易区分这2个目标的回波。将式(17)、(18)代入式(19)式可得：

δ2≥2[E-|χ(τ，ξ)|]。

(20)

因此，模糊度函数也用来分析信号的分辨能力，如果目标不运动时，亮点的反射波没有频移项ξ0，可以用模糊度函数在时延轴上的剖面χ(τ，0)来衡量信号的时间分辨率，如果以|χ(τ，0)|幅值的0.707作为分辨2个目标的极限值，对应的延时宽度Δτ就是信号的时间分辨率。

根据式(6)，匹配滤波器检测增益的提高只能依靠增加信号的能量，而与信号形式无关，同样能量的信号，单频长脉冲和复杂信号具有同样的检测效果。但是，单频脉冲信号能量的增加主要靠增加功率P或信号长度T。增加峰值功率受到发射系统和传感器最大功率的限制，因此一般靠增加T来增加信号能量。但单脉冲T的增加，意味着信号带宽B的减小，因此距离分辨力也减小。如果要求匹配滤波在不降低信号距离分辨性能的条件下，提高检测性能，必须采用复杂信号。

图3显示了CW和LFM信号探测能力的对比。有6个亮点分别位于距离超声传感器1，1.006，1.03,1.05，1.07，1.09 m处，忽略空气中的传播损失，前4个亮点的反射系数均为0.2，后2个亮点的反射系数为0.05，接收系统的带宽为20 kHz，噪声是功率为1 W的白噪声，图3(a)，图3(b)分别是发射脉宽为50 μs的CW和LFM的信号时，互相关器的输出，可以看出，由于前2个亮点的距离差小于发射信号的最小分辨率，其输出的峰值靠得很近，较难分辨，中间2个亮点的回波则能够清楚地区分开，最后2个亮点由于信噪比不够高，已经不能分辨。图3(c)，图3(d)是将发射脉宽加长至400 μs时的输出，由于发射信号能量的增强，输出的信噪比明显增加，图3(d)中最后2个亮点已经清晰可辨，而图3(c)由于使用CW脉冲，其时间分辨率降低，6个亮点已经不能分辨。

图3 互相关器的输出

1.5 相位匹配与失配

式(3)所定义的匹配滤波器是复数运算的，而实际使用中的信号都是实信号xI(t)，为得到其虚部xQ(t)，需要进行希尔伯特变换：

xQ(t)=Hilbert[xI(t)]，

(21)

x(t)=xI(t)+jxQ(t)。

(22)

进行匹配滤波后再取输出的实部进行判断：

yI(t)=Re[y(t)]=K·Re[Rxs(t0-t)]。

(23)

亮点的反射系数是一个复数A=|A|ejφ，此时回波信号是：

x(t)=|A|ejφs(t-τ)。

(24)

将式(24)代入式(23)中得到匹配滤波器输出：

yI(t)=Re[Rs(t0+τ-t)ejφ]，

(25)

式中，Rs(t)是信号的自相关函数。

t=t0+τ时，输出变为：

yI(t)=Rs(0)cosφ。

(26)

可见，除非φ=0，否则yI(t)不可能达到最大输出值Rs(0)。由于在检测中，相位并不包含所需要的信息，因此，通常取复相关或匹配滤波运算输出的模为：

|y(t)|=|Rs(t0+τ-t)|，

它与φ无关，完全匹配时，

|y(t)|=R0(0)=E，

计算方法为：

(27)

式中，

(28)

式(27)，(28)也被称为正交接收机，为了避免计算输入信号xI(t)的希尔伯特变换xQ(t)，还可以使用：

(29)

联合式(27)来计算，值得注意的是就信噪比检测增益而言，式(28)，(29)定义的匹配滤波器都要比相位完全匹配的匹配滤波器小3 dB。

2 单比特相关器

2.1 数字相关器

随着超大规模集成电路(VLSI)的发展，使用基于集成电路的数字信号处理方法进行计算具有更高的通用价值[9]。根据数字信号处理的基本理论，可以将式(27)，(29)分别表示为其采样形式：

(30)

(31)

可以将反射回波信号经过AD采样量化后用大规模集成电路进行数字计算[10]。

2.2 Delta-sigma调制

Delta-sigma AD转换器是近年来发展的一种新型结构的AD变换器[11]，与传统的AD变换器不同，借助于过采样技术，可以用较少的比特数来表示被采样信号，在音频信号领域得到广泛应用。图4(a)是一阶单比特Delta-sigma调制原理图。输入的模拟信号经过单比特量化ADC(比较器)量化为1 bit的数字信号，比较器的输出再使用一个单比特DA转换器转换为模拟信号，并与输入信号进行相减，其输出端输出1就表示当前输入的模拟信号比前一时刻的信号增加，而输出-1则表示比前一时刻减小。图4(b)显示了单比特Delta-sigma调制器量化正弦波的例子，如果输入电平是一个固定的直流电平时，调制器的输出端会在1和-1中交替变化。

图4 Delta-sigma调制

对于传统AD转换器来说，当采样速率高于两倍的信号最高频率时，可以无失真地回复原信号。这就是奈奎斯特采样定律，而使用Delta-sigma调制器进行采样时，采样的量化噪声不是均匀分布在整个带宽内的，距离其采样频率越近的频率点量化噪声越高，为了降低量化噪声的影响，Delta-sigma调制器的采样速率需要远高于信号的奈奎斯特采样频率，即过采样技术，再借助于带限于奈奎斯特采样频率的数字低通滤波器来滤除量化噪声的影响。

2.3 单比特相关器

借助于Delta-sigma调制器，可以将复杂的信号表示为单比特的数字信号，在后序的数字信号处理中，减小了计算的复杂度。Mirioru等人最早将单比特信号处理技术应用于直流电机的控制中[12]，而后Shinnosuke和Mirioru设计了单比特互相关器，并将其用于机器人超声测距中[13-14]。

文献[12]中给出了单比特相关的计算方法，应用其推导结果，互相关器2个相邻时刻输出差表示为：

y1(t)-y1(t-1)=-x1(t-N)+2x1(t-N+Z1)。

(32)

可以经由Delta-sigma调制的输入信号，同样计算得到调制后的相关函数，再由：

y(t)=y1(t)+y1(t-1)，

(33)

即可还原出相关函数，计算出的结果还要经过低通滤波，滤除高频量化噪声。

同理可以得出进行复数运算时，只需要分别将参考信号的实部和虚部分别进行单比特互相关运算，再求模值即可，具体计算流程如图5所示。

图5 单比特互相关器计算流程

这种单比特相关器大大减小了相关运算的复杂度，只需要使用M个累加器和较少位数的乘法器，特别适用于FPGA/CPLD或专用ASIC实现。

3 仿真实例

仿真实验是用Matlab计算完成。发射选用线性调频脉冲LFM信号，脉宽为5 ms，6个点目标分别位于1，1.006，1.03，1.05，1.07，1.09 m处，其反射系数的模值均为0.2，前4个亮点相移为0，第5个亮点相移为180，第6个亮点相移为90。空气中的声速取340 m/s。接收信号使用单比特一阶Delta-sigma调制器进行调制。调制器的采样速率为12.5 MHz，输出FIR滤波器采用119步的三角加权滑动平均以滤除量化噪声。为了对比，同时用Matlab以采样速率125 kHz进行相关运算，无环境噪声时计算结果如图6所示。

图6(a)是Matlab浮点互相关器的计算结果，计算采用复数运算，实线是式(23)的计算结果，是互相关器输出的实部，虚线是式(27)，(28)的计算结果，是互相关函数的模值，图6(b)是单比特互相关器计算的结果，图6(c)是上述方法中的单比特相关器的计算结果，从图6中可以看出，应用单比特互相关器计算的互相关函数是与Matlab的浮点计算结果是相符的，包络计算对应每个亮点的位置都有与之相对应的单个峰值，而实数计算则有多个峰值，正确判断峰值的位置需要比较复杂的算法，在实际应用中不如包络计算使用方便。测量的分辨率与信号的分辨率是不同的，测量分辨率是指应用测量方法(例如最大值检测)能够分辨的最小单位，一般与采样精度有关，而信号的分辨率则是第二节中由模糊度函数来定义的两个相邻亮点的最小分辨距离，具体的例子是应用单比特相关器在12.5 MHz采样率的情况下能分辨的最小距离约0.013 6 mm，而带宽20 kHz的LFM信号的最小距离分辨率约为7.48 mm，实际测量系统的分辨率是二者中间较小的那个。

图6 互相关器仿真计算结果

4 结束语

根据信号的模糊度函数可以得出超声测距系统的最小距离分辨率是其带宽决定的，测距的分辨率不能任意小。通过计算机仿真证明，基于Delta-sigma调制器的单比特互相关器的超声波测距系统可以获得比传统互相关器更高的精度，用互相关器输出的包络值代替实值进行距离测量可以补偿回波相位失配带来的影响，在较小的精度损失下可以使超声测距系统具有更高的鲁棒性，提高机器人对环境的适应能力，为形成基于Delta-sigma调制的单比特信号处理系统提供了一定的理论基础和应用依据。