线性代数在线开放课程教材知识体系研究

曹洁 曹殿立 马巧云 苏克勤 张建军

摘要：基于线性代数在线开放课程的课程体系和教学内容的研究，提出了线性代数在线开放课程内容体系的构建原则，确定了线性代数在线开放课程内容的体系结构，进而构建了线性代数在线开放课程教材的知识体系。

关键词：线性代数；在线开放课程；教材；知识体系

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2019）33-0174-02

2017年，河南农业大学线性代数在线开放课程组申报的河南省高等教育教学改革与实践项目“线性代数在线开放课程教材的研究与建设”成功立项。课程组通过研究在线开放课程的特点、教学规律，通过调研国内线性代数在线开放课程的课程体系和教学内容并结合教育部关于线性代数课程教学的基本要求，在充分借鉴现有线性代数在线开放课程教材以及传统线性代数教材建设经验的基础上，构建了适应于在线开放课程的线性代数课程体系和教学内容，确定了线性代数在线开放课程教材的知识体系，为线性代数在线开放课程教材的编写奠定了坚实基础。

一、国内线性代数在线开放课程知识体系概述

目前，教育部爱课程网（http：//www.icourses.cn）开设的线性代数在线开放课程有30多门，主讲团队主要有：同济大学靳全勤教学团队、东南大学陈建龙教学团队、厦门大学陈桂芝教学团队、山东大学刘建亚教学团队、北京理工大学孙良教学团队、西安电子科技大学刘三阳教学团队等。综合各课程的情况，课程内容的体系结构主要有以下几种类型：类型1，以矩阵定义开篇，引入行列式和矩阵的初等变换；以矩阵的秩讨论线性方程组解的判定，以向量组的线性相关性研究线性方程组解的结构、相似矩阵和二次型[1]；类型2，以求解线性方程组为出发点，引入行列式、矩阵及向量的线性相关性，进而研究线性方程组解的判定、解的结构、相似矩阵和二次型；类型3，以线性空间和线性映射为主线，以行列式、矩阵为工具，研究线性方程组的求解和二次型的应用。类型4，从行列式和矩阵的定义出发，讨论行列式和矩阵运算；通过给出矩阵的初等变换，以矩阵的秩讨论线性方程组解的判定；通过给出向量组的线性相关性，以解的相关性研究线性方程组解的结构，进而研究相似矩阵和二次型[1]。

类型1，以矩阵为基础引入行列式，内容体系自然、直观；类型2，以求解线性方程组为出发点，由问题引入方法，内容体系突出应用，引人入胜；类型3，以线性空间和线性映射为主线，内容体系突出代数思想，有益于学生数学素质的培养；类型4，则首先给出行列式和矩阵的定义，内容体系基础扎实、逻辑严密、脉络清晰、难点分散、易于理解[2]。

这四种课程内容体系各有优点，50%以上的教学团队采用的是第四类体系。

二、线性代数在线开放课程知识体系构建的原则

课程的知识体系是课程教学实施的规划方案，是实现培养目标的载体，是保障和提高教学质量的关键。我们认为，一个好的知识体系应该满足两个要求：一是教学内容必须契合教学大纲，符合课程的培养目标；二是知识结构必须符合学生的认知规律，易懂、易教、易学[3]。

三、线性代数在线开放课程知识体系的构建

基于线性代数在线开放课程知识体系構建的原则，综合目前国内线性代数在线开放课程知识体系结构的研究和长期的教学实践，我们倾向于采用第四种知识体系，并增加MATLAB软件的应用。第四种知识体系是线性代数课程的经典体系。该体系起点低、坡度缓、难点分散、脉络清晰，符合思维习惯。

《线性代数（第二版）》（曹殿立，科学出版社）[4]的内容体系很好地体现了第四种知识体系。教材的第1章通过二元和三元线性方程组的求解，引出了二阶和三阶行列式，利用排列的逆序定义了n阶行列式；第2章介绍了矩阵的加减法、乘法、转置以及矩阵的逆运算；第3章在回顾线性方程组消元解法的基础上，给出了矩阵的初等变换，定义了初等矩阵和矩阵的秩；第4章一方面运用矩阵初等变换和矩阵秩的性质，讨论了线性方程组的解的判定和求解问题，另一方面通过定义向量组的线性相关性，研究了线性方程组解向量的结构；第5章进一步利用行列式、矩阵和向量组的线性相关性，讨论方阵的对角化问题；第6章以第5章为基础，将二次型作为一个简单的应用模型，研究了二次型的标准化问题。我们将以该教材的内容体系为基础，结合在线开放课程的特点，确定线性代数在线开放课程教材的体系结构。

四、线性代数在线开放课程教材的知识体系结构

沿用《线性代数（第二版）》（曹殿立，科学出版社）的章节，相应于在线开放课程微视频的要求，将原有的各节细分为微课。微课的具体划分如下。

第一章 行列式

（1）二、三阶行列式；（2）排列的逆序与奇偶性；（3）n阶行列式的定义；（4）行列式的性质；（5）行列式按行（列）展开；（6）克拉默（Gramer）法则。

第二章 矩阵及其运算

（1）矩阵的基本概念；（2）矩阵的线性运算及转置；（3）矩阵的乘法；（4）方阵的行列式；（5）逆矩阵的定义与性质；（6）逆矩阵的运算法则；（7）分块矩阵的定义和运算；（8）分块对角阵与分块三角阵。

第三章 矩阵的初等变换

（1）初等变换与初等矩阵；（2）用初等变换法求逆矩阵；（3）矩阵的秩的定义；（4）用初等变换法求矩阵的秩；（5）等价矩阵。

第四章 线性方程组

（1）线性方程组解的判定定理；（2）高斯消元法解方程组；（3）向量组的线性相关性的定义；（4）向量组的线性相关性的性质；（5）极大线性无关组；（6）向量组的秩；（7）向量空间的基和维数；（8）向量空间的坐标；（9）齐次线性方程组解的结构；（10）非齐次线性方程组解的结构。

第五章 矩阵的相似变换

（1）特征值与特征向量的定义；（2）特征值与特征向量的性质；（3）相似矩阵；（4）矩阵相似对角化的讨论。

第六章 二次型

（1）向量的内积、长度与夹角；（2）向量组的标准正交化；（3）正交矩阵；（4）二次型的定义；（5）二次型的惯性定律；（6）正交变换；（7）用正交变换化二次型为标准形；（8）二次型的正定性。

微课除教学内容外，还将设置知识背景、课堂思考与练习、课后习题。每章最后是单元模拟测试，书末还有期末模拟试卷以及学习本课程必需的预备知识等。

为提高学习效果，还将编写与教材配套的同步教学参考书。参考书将依照与《线性代数（第二版）》（曹殿立，科学出版社）配套的《线性代数同步学习辅导（第二版）》（曹殿立，科学出版社）[5]的章节，每章的总体结构设置为：知识体系+内容提要+概念解析+典型例题+课堂练习解答+习题解答。

按照研究计划，2019年8月，教材与教学参考书将公开出版并配合在线开放课程使用。我们相信，通过课题组的不懈努力，一定能够编写出适应线性代数在线开放课程需要的合格教材，进一步提高线性代数在线开放课程的教学质量。

参考文献：

[1]曹殿立.线性代数教材建设的认识与实践[J].教育教学论坛.2017，（16）.

[2]陆小军，唐青松.基于MOOCs的线性代数教学改革与实践[J].中国校外教育（下旬刊）.2015，（z2）

[3]韩云龙.慕课模式下“线性代数”课程教学改革初探[J].课程教育研究.2017，（5）.

[4]曹殿立.线性代数（第2版）[M].科学出版社，2017.

[5]曹殿立.线性代数同步学习辅导（第2版）[M].科学出版社，2017.