正定矩阵的判定及应用

(成都理工大学 四川 成都 610059)

矩阵不仅是数学研究的分支和高等代数的主要研究对象，还是理学研究中不可缺少的具有实用价值的工具。矩阵已经成为了处理有限空间和数量关系的重要的工具。正定矩阵在矩阵的研究中占有十分重要的地位，对于正定矩阵的研究有利于我们日后更加详尽的研究二次型、线性空间和线性变换。

一、正定矩阵的定义

二、判定

(一)利用定义判定

利用定义证明矩阵A正定需要证明：对任何的非零实列向量X,XTAX>0.

例设A是m×n矩阵，B=λE+ATA,证明当λ>0时，B是正定矩阵。

证明因为BT=(λE+ATA)T=λE+ATA=B,故B是n阶实对称矩阵，对于任意的n维实向量x≠0，有

xTBx=λxTx+xTATAx=λxTx+(Ax)TAx=λ‖x‖2+‖Ax‖2

由于x≠0，λ>0，则恒有λ‖x‖2>0，而λ‖x‖2≥0，因此xTBx>0(∀x≠0)，由定义可得B是正定矩阵。

(二)利用顺序主子式判定

n阶实对称矩阵A是正定的充要条件是A的顺序主子式都大于零,所以我们可以利用顺序主子式来判定一个矩阵是否是正定矩阵。

运用顺序主子式判定矩阵是否正定，首先我们需要确定矩阵的各阶顺序主子式较容易得到，然后根据矩阵的各阶顺序主子式均大于零，可以快速的判断出矩阵是否为正定矩阵。此方法只适用于各阶顺序主子式方便计算的矩阵，具有一定的局限性。

(三)利用特征值判定

运用特征值判定正定矩阵，首先要计算出矩阵的所有特征值，如果所有的特征值都为正数则该矩阵为正定矩阵。如果可以保证所有的特征值全部为正数，那么也可不计算特征值的具体数值直接判定。此方法适用于根据已知可以容易判断特征值是否全为正数的矩阵。

(四)总结

正定矩阵首先必然为实对称矩阵。因此在判定一个矩阵是否正定时必须首先判定该矩阵是否为对称阵，若它不是对称阵，那么其一定不是正定矩阵，若是对称阵则可以继续判定。若给出的是一个具体数字的实对称矩阵，那么在判定时可以验证各阶顺序主子式是否全大于零；若给出的是一个抽象矩阵，那么在判定时可以利用定义或者特征值来进行判定。

三、正定矩阵在广义积分计算中的应用

积分上下限皆为无穷的N重广义积分，传统的积分方法对这类积分往往难以奏效，本节介绍一种利用二次型理论计算这类广义积分的方法。

考虑如下形式的n重广义积分

(1)

其中f(x1,x2,…,xn)是二次多项式，为简单起见，我们可以设f(x1,x2,…,xn)是一个n元二次齐次式(借助于正交变换，总可以化成此类情况的计算)。于是我们只需考虑如下形式的n重广义积分：

(2)

这里f(x1,x2,…,xn)=XTAX是一个实二次型，X=(x1,x2,…,xn)T，A是该实二次型的矩阵。当A是正定矩阵时，上述积分(2)的计算已得到解决：

(3)

但当A是非正定矩阵时，上述积分是发散的，从而可将结果合并表示为：

(4)

现先将(4)式两个结果一起证明如下：

这里λ1,λ2,…,λn是A的特征值，从而A=PTΛP,于是

又由于P是正交矩阵，从而在正交变换X=PY下，体积元素dx1dx2…dxn可以用体积元素dy1dy2…dyn代替，于是(4)中的积分变为：

(5)