几类代数不等式的三角背景*

(宏实中学，安徽 枞阳 246700)

代数不等式是数学竞赛中一种不可或缺的题型.那些精美的不等式往往使人绞尽脑汁，但又让人爱不释手.在敬佩、感叹之余，人们心中往往会产生疑惑：这些不等式是怎么想到的,有没有证明的捷径？笔者发现，代数不等式有几种常见的三角背景，本文借用数学竞赛、期刊杂志和安振平新浪博客中的代数不等式，对几类常见代数不等式的三角背景作一个总结，供大家参考.

证明在△ABC中，

当且仅当△ABC为正三角形时等号成立[1].

证明设x=tanA，y=tanB,z=tanC,其中A,B,C为锐角△ABC的3个内角，则

(《数学通报》2018年9月数学问题2 442)

背景2在△ABC中，cosA+cosB+cosC≥2(cosAcosB+cosBcosC+cosCcosA).

即

cosA+cosB+cosC≥2(cosAcosB+cosBcosC+cosCcosA)，

当且仅当△ABC为正三角形时等号成立[3].

例3已知a,b,c≥0,a2+b2+c2+abc=4，求证：a+b+c≥ab+bc+ca.

(安振平新浪博客不等式问题4 712)

cos2A+cos2B+cos2C+2cosAcosBcosC=1,

令2cosA=a，2cosB=b,2cosC=c,则所证的式子转化为

cosA+cosB+cosC≥2(cosAcosB+cosBcosC+cosCcosA).

应用背景2，即证.

(2011年中欧数学奥林匹克竞赛试题第2题)

cos2A+cos2B+cos2C+2cosAcosBcosC=1,

当且仅当a=b=c=1时等号成立.

当且仅当△ABC为正三角形时等号成立.

例5已知x,y,z>0，xy+yz+zx+xyz=4,求证：x+y+z≥xy+yz+zx.

(1996年越南数学奥林匹克竞赛试题第3题)

结合背景3，即证.

(安振平新浪博客不等式问题4 714)

cos2A+cos2B+cos2C+2cosAcosBcosC=1,

构造锐角△ABC.令2cosA=a，2cosB=b,2cosC=c,则原式转化为

当且仅当a=b=c=1时等号成立.

总之，从代数式的结构出发，对代数不等式问题的三角背景进行挖掘，新颖复杂的代数不等式往往就转化为优美整洁的三角不等式，从三角的视角去研讨问题，为问题的解决找到了一条“柳暗花明又一村”的捷径.